已知函數(shù)y=
2
32x-1
的圖象恒過定點P,若冪函數(shù)f(x)=xa的圖象也過點P.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)試用單調性定義證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)內是減函數(shù).
分析:(1)先由冪函數(shù)f(x)=xa的圖象經(jīng)過點P(
1
2
,
2
),求出a;
(2)先在定義域上取值,再作差、變形,變形徹底后根據(jù)式子的特點,討論判斷符號、下結論.
解答:解:(1)由已知P(
1
2
,
2
),
∴f(
1
2
)=
2
,
∴(
1
2
a=
2
,
∴a=-
1
2
,
(2)f(x)=x -
1
2

設0<x1<x2,則有
f(x1)-f(x2)=x1 -
1
2
-x2 -
1
2
=
x2
-
x1
x1x2
=
x2-x1
x1x2
(
x1
+
x2
)
,
∵0<x1<x2,
∴x2-x1>0,
x1x2
(
x1
+
x2
)
>0,
所以f(x1)-f(x)>0,即f(x1)>f(x2
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調遞減函數(shù).
點評:本題主要考查了利用待定系數(shù)求解冪函數(shù)的函數(shù)解析式,考查了函數(shù)單調性的證明方法:定義法,關鍵是變形一定徹底,直到能明顯的判斷出符號為止.屬于基礎試題.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間[-
3
2
,
3
2
]
上的偶函數(shù),且x∈[0.
3
2
]
時,f(x)=-x2-x+5
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)將函數(shù)g(x)=-x2-x+5,x∈[0.
3
2
]
的圖象按向量a=(1,b)(b∈R)平移得到函數(shù)h(x)的圖象,求函數(shù)h(x)的解析式并解不等式h(x)<0.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=b+a x2+x(a、b是常數(shù)且a>0,a≠1)在區(qū)間[-
3
2
,0]上有最大值3,最小值
5
2

(1)試求a和b的值.
(2)a<1時,令m=ab,n=logab,k=ba,比較m、n、k的大。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=Asin(ωx+?)+K的一部分圖象如圖所示,如果A>0,ω>0,|?|<
π
2
,則f(
12
)=
2-
3
2-
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=b+ax2+2x,(a,b是常數(shù)a>0且a≠1)在區(qū)間[-
3
2
,0
]上有ymax=3,ymin=
5
2

(1)求a,b的值;
(2)若a∈N*當y>10時,求x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)是對數(shù)函數(shù),且它的圖象過點(4,2).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求f(1),f(32),f(
18
)
的值;
(3)解不等式f(2x)>f(-x+3).

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