已知函數(shù)y=f(x)是對數(shù)函數(shù),且它的圖象過點(diǎn)(4,2).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求f(1),f(32),f(
18
)
的值;
(3)解不等式f(2x)>f(-x+3).
分析:(1)設(shè)f(x)=lo
g
x
a
(a>0,a≠1)
,由圖象過點(diǎn)(4,2),求得a的值,可得函數(shù)f(x)的解析式.
(2)根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式,利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求得f(1)、f(32)、f(
1
8
)的值.
(3)由f(2x)>f(-x+3)得:
2x >0
-x+3 >0
2x >-x+3
,由此求得不等式的解集.
解答:解:(1)設(shè)f(x)=lo
g
x
a
(a>0,a≠1)
,由圖象過點(diǎn)(4,2),可得loga4=2,即a2=4,解得 a=±2,
結(jié)合題意可得,只有a=2,
∴函數(shù)f(x)的解析式為 f(x)=lo
g
x
2

(2)由(1)得,f(1)=log21=0,f(32)=log232=5,f(
1
8
)=log2
1
8
=-3.
(3)由f(2x)>f(-x+3)得:
2x >0
-x+3 >0
2x >-x+3
,解得1<x<3,
故此不等式的解集為{x|1<x<3}.
點(diǎn)評:本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,對數(shù)不等式的解法,屬于中檔題.
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-x(1+x)
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[-3,3]
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(1,3]
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