已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓 上任意一點(diǎn)，且的最小值為.
（1）求橢圓的方程；
（2）動(dòng)圓與橢圓相交于A、B、C、D四點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.

解析試題分析：（1）由于（定值）這個(gè)條件并結(jié)合余弦定理以及的最小值為這個(gè)條件可以求出的值，并由已知條件中的值可以求出，并最終求出橢圓的方程；（2）先設(shè)出、、、中其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)這四點(diǎn)之間的相互對(duì)稱(chēng)性將四邊形的面積用該點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行表示，結(jié)合這一條件將面積轉(zhuǎn)化為其中一個(gè)變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的求最值的思想求出四邊形面積的最大值，并可以求出對(duì)應(yīng)的值.
試題解析：（1）因?yàn)镻是橢圓上一點(diǎn)，所以.
在△中，，由余弦定理得
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0e/a/1nv8c3.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f3/d/l3sl22.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a8/2/xbhrr.png" style="vertical-align:middle;" />的最小值為，所以，解得.
又，所以.所以橢圓C的方程為.
（2）設(shè)，則矩形ABCD的面積.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2e/9/4bojz1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0e/0/1hsj13.png" style="vertical-align:middle;" />且，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值24.
此時(shí)，.
所以當(dāng)時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.
考點(diǎn)：橢圓的定義、余弦定理、二次函數(shù)

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

知橢圓的離心率為，定點(diǎn)，橢圓短軸的端點(diǎn)是，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn).試問(wèn)軸上是否存在異于的定點(diǎn)，使平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.
(1) 求橢圓方程.
(2) 過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且過(guò)點(diǎn)．
（１）求橢圓的方程；
（２）設(shè)、、是橢圓上的三點(diǎn)，若，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，直線：x＝－將線段F1F2分成兩段，其長(zhǎng)度之比為1 : 3．設(shè)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線l上．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；
(Ⅱ) 求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過(guò)點(diǎn)M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn).試探討k為何值時(shí),三角形OAB為直角三角形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為1，最小值為-2.
（I）求橢圓的方程；
（II）過(guò)點(diǎn)作不與軸垂直的直線交該橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)。試判斷的大小是否為定值，并說(shuō)明理由.

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如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．
分別過(guò)，的兩條弦，相交于點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)），且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

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