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知橢圓的離心率為，定點，橢圓短軸的端點是，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點且斜率不為0的直線交橢圓于兩點.試問軸上是否存在異于的定點，使平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

（1）；（2）存在，.

解析試題分析：（1）由離心率為可得到一個關于的方程，再根據MB1⊥MB2即可得；（2）本題采用“設而不求”的方法，將A，B兩點坐標設出，但不求出.注意到平分，則直線的傾斜角互補這個性質,從而由斜率著手，以韋達定理為輔助工具，得出點P的坐標.
試題解析：（1）由得
又,知是等腰直角三角形，從而.
所以橢圓C的方程是.                                  5分
（2）設，直線AB的方程為
由得，
所以 ①，②                       8分
若平分，則直線的傾斜角互補，
所以
設，則有，                                 10分
將代入上式，整理得，
將①②代入得，由于上式對任意實數都成立，所以.
綜上，存在定點，使平分PM平分∠APB.                       13分
考點：1.橢圓的簡單幾何性質；2.直線與圓錐曲線的位置關系；3.斜率公式.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知圓，若橢圓的右頂點為圓的圓心，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點，與圓分別交于兩點，點在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在軸上方有一段曲線弧，其端點、在軸上（但不屬于），對上任一點及點，，滿足：．直線，分別交直線于，兩點．

（Ⅰ）求曲線弧的方程；
（Ⅱ）求的最小值（用表示）；

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，直線l與拋物線相交于不同的兩點A，B.
（I）如果直線l過拋物線的焦點，求的值；
（II）如果，證明直線l必過一定點，并求出該定點坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點,離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點且斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，直線、分別交直線 于、兩點,線段的中點為.記直線的斜率為，求證: 為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（－5，0），（5，0），且AC，BC所在直
線的斜率之積等于m（m≠0），求頂點C的軌跡．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知△ABC中, 點A，B的坐標分別為A（－，0），B（，0）點C在x軸上方．
（Ⅰ）若點C坐標為（，1），求以A，B為焦點且經過點C的橢圓的方程：
（Ⅱ）過點P（m，0）作傾斜角為的直線l交（1）中曲線于M，N兩點，若點Q（1，0）恰在以線段MN為直徑的圓上，求實數m的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線焦點為，直線經過點且與拋物線相交于，兩點

（Ⅰ）若線段的中點在直線上，求直線的方程；
（Ⅱ）若線段，求直線的方程

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為、，P為橢圓 上任意一點，且的最小值為.
（1）求橢圓的方程；
（2）動圓與橢圓相交于A、B、C、D四點，當為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.

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