Question

等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，已知（a₂-2）³+2013（a₂-2）=sin

2014π

3

，（a₂₀₁₃-2）³+2013（a₂₀₁₃-2）=cos

2015π

6

，則S₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：將兩個(gè)等式相加，利用立方和公式將得到的等式因式分解，提取公因式得到a₂+a₂₀₁₃的值，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出n項(xiàng)和．

解答： 解：（a₂-2）³+2013（a₂-2）=sin

2014π

3

=

3

2

，①
（a₂₀₁₃-2）³+2013（a₂₀₁₃-2）=cos

2015π

6

=-

3

2

，②
①+②得，
（a₂-2）³+2013（a₂-2）+（a₂₀₁₃-2）³+2013（a₂₀₁₃-2）=0，
即（a₂-2+a₂₀₁₃-2）[（a₂-2）²-（a₂-2）（（a₂₀₁₃-2）+（a₂₀₁₃-2）²]+2013（a₂-2+a₂₀₁₃-2）=0，
∴a₂-2+a₂₀₁₃-2=0，
即a₂+a₂₀₁₃=4，
∴S₂₀₁₄=

(a1+a2014)×2014

2

=1007×（a₂+a₂₀₁₃）=4028，
故答案為：4028．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)條件求出a₂+a₂₀₁₃=4是解決本題的關(guān)鍵．