Question

已知函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

（1）若，求的單調(diào)減區(qū)間；

（2）若對(duì)任意，且，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在第（2）問(wèn)求出的實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)，若存在一個(gè)與有關(guān)的負(fù)數(shù)，使得對(duì)任意時(shí)恒成立，求的最小值及相應(yīng)的值.

 

Answer 1

（1）單調(diào)減區(qū)間為（2）（3）當(dāng)時(shí)，的最小值為

【解析】（1）當(dāng)時(shí)，， ……………1分

由解得 ………………2分

當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；…………3分

（2）易知

依題意知

……………………………………………………5分

因?yàn)?/span>，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是 ；…………6分

（3）解法一：易知，.

顯然，由（2）知拋物線的對(duì)稱軸…………7分

①當(dāng)即時(shí)，且

令解得………………8分

此時(shí)取較大的根，即 ……………9分

， …………………10分

②當(dāng)即時(shí)，且

令解得………………11分

此時(shí)取較小的根，即…………12分

， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)……13分

由于，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值 ………………14分

解法二：對(duì)任意時(shí)，“恒成立”等價(jià)于“且”

由（2）可知實(shí)數(shù)的取值范圍是

故的圖象是開口向上，對(duì)稱軸的拋物線…7分

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴，

要使最小，只需要

………8分

若即時(shí)，無(wú)解

若即時(shí)，………………9分

解得（舍去） 或

故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）…………10分

②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在遞增，

則，…………………11分

要使最小，則即

………………………………………………………12分

解得（舍去）

或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）…13分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的最小值為.………………………………14分