【題目】已知球內(nèi)接四棱錐P﹣ABCD的高為3,AC,BC相交于O,球的表面積為 ,若E為PC中點(diǎn).
(1)求證:OE∥平面PAD;
(2)求二面角A﹣BE﹣C的余弦值.

【答案】
(1)解:證明:由O,E分別是CA,CP的中點(diǎn),得OE∥AP,

且滿足OE平面PAD,AP平面PAD,所以O(shè)E∥平面PAD.


(2)解:由球的表面積公式S=4πR2,得球的半徑 ,

設(shè)球心為O1,在正四棱錐P﹣ABCD中,高為PO,則O1必在PO上,

連AO1,則

則在Rt△O1OA,則 ,即OA=2,

在正四棱錐P﹣ABCD中,PO⊥平面ABCD于O,且AC⊥BD于O,

設(shè)OA,OB,OP為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz系,

得P(0,0,3),A(2,0,0),B(0,2,0),C(﹣2,0,0),D(0,﹣2,0),PC中點(diǎn)

所以 ,

設(shè) 分別是平面ABE和平面CBE的法向量,

,

可得 ,則 ,

由圖可知,二面角A﹣BE﹣C的大小為鈍角,

所以二面角A﹣BE﹣C的余弦值為


【解析】(1)由O,E分別是CA,CP的中點(diǎn),得OE∥AP,即可得OE∥平面PAD.(2)由球的表面積公式S=4πR2,得球的半徑 ,設(shè)球心為O1,在正四棱錐P﹣ABCD中,高為PO,則O1必在PO上,連AO1,在Rt△O1OA,可得OA=2,設(shè)OA,OB,OP為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz系,得P(0,0,3),A(2,0,0),B(0,2,0),C(﹣2,0,0),D(0,﹣2,0),PC中點(diǎn) ,利用向量法求解.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.

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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程 (φ為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin(θ+ )=3 ,射線OM:θ= 與圓C的交點(diǎn)為O、P,與直線l的交點(diǎn)為Q,求線段PQ的長(zhǎng).

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【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,E、F分別是A1B,AC1的中點(diǎn).
(1)求證:平面AEF⊥平面AA1B1B;
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【題目】已知F1 , F2為雙曲線 的左右焦點(diǎn),過F1的直線l與圓x2+y2=b2相切于點(diǎn)M,且|MF2|=2|MF1|,則直線l的斜率是(
A.
B.
C.
D.

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(1)求拋物線C的方程;
(2)直線AF與C交于另一點(diǎn)B,拋物線C分別在點(diǎn)A,B處的切線交于點(diǎn)P,D為y軸正半軸上一點(diǎn),直線AD與C交于另一點(diǎn)E,且有|FA|=|FD|,N是線段AE的靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn).
(i)證明點(diǎn)P在△NAB的外接圓上;
(ii)△NAB的外接圓周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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