Question

已知函數(shù)f（x）=x3﹣x2++，且存在x0∈（0，），使f（x0）=x0．

（1）證明：f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)；

（2）設(shè)x1=0，xn+1=f（xn）；y1=，yn+1=f（yn），其中n=1，2，…，證明：xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn；

（3）證明：＜．

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）證明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)增，只需證其導(dǎo)函數(shù)在R上恒大于零即可；

（2）先驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立，假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)有xk＜xk+1＜x0＜yk+1＜yk，再驗(yàn)證n=k+1時(shí)是否成立；

（3）利用基本不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用整體的思想轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的最值即可．

【解析】
（1）∵f'（x）=3x2﹣2x+=3（x﹣）2+＞0，

∴f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)．

（2）∵0＜x0＜，即x1＜x0＜y1．又f（x）是增函數(shù)，

∴f（x1）＜f（x0）＜f（y1）．即x2＜x0＜y2．

又x2=f（x1）=f（0）=＞0=x1，y2=f（y1）=f（）=＜=y1，

綜上，x1＜x2＜x0＜y2＜y1．

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)n=1時(shí)，上面已證明成立．

②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)有xk＜xk+1＜x0＜yk+1＜yk．

當(dāng)n=k+1時(shí)，

由f（x）是單調(diào)增函數(shù)，有f（xk）＜f（xk+1）＜f（x0）＜f（yk+1）＜f（yk），

∴xk+1＜xk+2＜x0＜yk+2＜yk+1

由①②知對(duì)一切n=1，2，都有xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn．

（3）==yn2+xnyn+xn2﹣（yn+xn）+≤（yn+xn）2﹣（yn+xn）+

=[（yn+xn）﹣]2+．

由（Ⅱ）知0＜yn+xn＜1．

∴﹣＜yn+xn﹣＜，

∴＜（）2+=