【題目】已知常數(shù),函數(shù).
(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(2)若存在兩個極值點,且,求的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)求導(dǎo)后討論導(dǎo)函數(shù)的取值情況繼而得到原函數(shù)的單調(diào)性
(2)結(jié)合(1)中可得兩個極值點情況,代入化簡的表達式,換元令后再次對新函數(shù)求導(dǎo)來解答參量的取值范圍
解:(1),
①當(dāng),即時,,在上遞增;
②當(dāng),即時,由,得,
解得(舍去),,且,,
所以在上遞減,在上遞增.
(2)由(1)知,若存在兩個極值點,則;
且,分別是的極大值點和極小值點。
由的定義域知,且,解得;
又
將,代入,
得
令,得,由且知,且,
記,
①當(dāng)時,,,故在上遞減,
所以,即當(dāng),即時,;
②當(dāng)時,,,故在上遞減,
,即當(dāng),即時,.
綜上所述,滿足條件的的取值范圍是.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(3ωx),其中ω>0.
(1)若f(x+θ)是最小周期為2π的偶函數(shù),求ω和θ的值;
(2)若f(x)在(0,]上是增函數(shù),求ω的最大值.
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【題目】對于定義域為[0,1])的函數(shù)f(x),如果同時滿足以下三條:①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f (1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).
(1)判斷函數(shù)g(x)=2x﹣1(x∈[0,1])是否為理想函數(shù),并予以證明;
(2)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù),假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f(f(x0))=x0,求證f(x0)=x0.
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【題目】設(shè)為常數(shù),函數(shù).給出以下結(jié)論:
①若,則在區(qū)間上有唯一零點;
②若,則存在實數(shù),當(dāng)時, ;
③若,則當(dāng)時,.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,討論函數(shù)與的圖象的交點個數(shù).
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【題目】近年來,“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便,某共享單車公司“Mobike”計劃在甲、乙兩座城市共投資160萬元,根據(jù)行業(yè)規(guī)定,每個城市至少要投資30萬元,由前期市場調(diào)研可知:甲城市收益P與投入單位:萬元滿足,乙城市收益Q與投入單位:萬元滿足,設(shè)甲城市的投入為單位:萬元,兩個城市的總收益為單位:萬元.
(1)寫出兩個城市的總收益萬元關(guān)于甲城市的投入萬元的函數(shù)解析式,并求出當(dāng)甲城市投資72萬元時公司的總收益;
(2)試問如何安排甲、乙兩個城市的投資,才能使總收益最大?
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【題目】某觀測站在目標(biāo)的南偏西方向,從出發(fā)有一條南偏東走向的公路,在處測得與相距的公路處有一個人正沿著此公路向走去,走到達,此時測得距離為,若此人必須在分鐘內(nèi)從處到達處,則此人的最小速度為( )
A. B. C. D.
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【題目】設(shè)等差數(shù)列滿足,,
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求的最大項的值;
(3)數(shù)列滿足,問是否存在正整數(shù)k,使得成等差數(shù)列?若存在,求出k和m的值;若不存在,請說明理由.
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