【題目】如圖,在四棱錐中,底面,,點為棱的中點.
(1)證明:;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)若為棱上一點,滿足,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
(1)可以建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量數(shù)量積來證明,;(2)向量法:先求平面的法向量,然后利用公式求直線與平面所成角的正弦值;(3)向量法:先求平面和平面的法向量,再利用公式來求二面角的余弦值.
依題意,以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得,,由點為棱的中點,得.
(1)向量,,故. ∴.
(2)向量,設(shè)為平面的法向量,則,即,
不妨令,可得為平面的一個法向量.
于是有,
∴直線與平面所成角的正弦值為.
(3),
由點在棱上,故,
由,得,解得,即.
設(shè)為平面的法向量,則,即,不妨令,可得為平面的一個法向量.取平面的法向量,則.
易知,二面角是銳角,∴其余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在極坐標(biāo)(與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位,且以原點為極點,軸正半軸為極軸)中,圓的方程為
(1)求圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)圓與直線交于點,,若點的坐標(biāo)為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為;直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線l與曲線C分別交于M,N兩點.
(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;
(2)若點P的極坐標(biāo)為,,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“中國式過馬路”存在很大的交通安全隱患,某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解路人對“中國式過馬路”的態(tài)度是否與性別有關(guān),從馬路旁隨機(jī)抽取30名路人進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到了如圖的列聯(lián)表.已知在這30人中隨機(jī)抽取1人抽到反感“中國式過馬路”的路人的概率是.
(1)求列聯(lián)表中的,的值;
男性 | 女性 | 合計 | |
反感 | 10 | ||
不反感 | 8 | ||
合計 | 30 |
(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),判斷是否有95%把握認(rèn)為反感“中國式過馬路”與性別有關(guān)?
臨界值表:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
參考公式:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論:
①的周期為;
②在上單調(diào)遞增;
③函數(shù)在上有個零點;
④函數(shù)的最小值為.
其中所有正確結(jié)論的編號為( )
A.①②B.②③C.③④D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為,且.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在高一部分學(xué)生中調(diào)查男女同學(xué)對某項體育運(yùn)動的喜好情況,其二維條形圖如圖(黑色代表喜好,白色代表不喜好).
(1)寫出列聯(lián)表;
(2)能否有99%的把握認(rèn)為喜好這項體育運(yùn)動與性別有關(guān);
(3)在這次調(diào)查中從喜好這項體育活動的一名男生和兩名女生中任選兩人進(jìn)行專業(yè)培訓(xùn),求恰是一男一女的概率.
附:
0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.83 |
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