（2013•臨沂三模）已知直線l：y=x+
6
，圓O：x2+y2=5，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
3
，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若
AF
=2
FB
求直線l的方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+
OB
，問(wèn)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡能否與橢圓C存在公共點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，由點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心O到直線l的距離為d=
3
，利用勾股定理可求得b值，根據(jù)b值，
c
a
=
3
3
，a2=b2+c2可求得a；
（Ⅱ）（1）易判斷l(xiāng)斜率不為0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由
AF
=2
FB
，可得y1=-2y2①，設(shè)直線l：x=my+1，代入橢圓消掉x得y的二次方程，由韋達(dá)定理及①可用m表示y1，y2，代入y1y2=
-4
2m2+3
，得-
8m
2m2+3
×
4m
2m2+3
=-
4
2m2+3
，解出m，從而得到直線l的方程；（2）問(wèn)題等價(jià)于在橢圓上是否存在點(diǎn)P，使得
OP
=
OA
+
OB
成立．易判斷直線斜率不為0，設(shè)直線l的方程為x=my+1，由（1）的設(shè)法可得P（x1+x2，y1+y2），若點(diǎn)P在橢圓C上，可得
x12+2x1x2+x22
3
+
y12+2y1y2+y22
2
=1，再由點(diǎn)A，B在橢圓上，可得2x1x2+3y1y2+3=0②，代入韋達(dá)定理可得m的方程，解出m，進(jìn)而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到結(jié)論；
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，圓心O到直線l的距離為d=
6
1+1
=
3
，
∴b=
5-3
=
2
．由題意得  
c
a
=
3
3
a2=b2+c2
b=
2
，解得a2=3，b2=2．
故橢圓C的方程為
x2
3
+
y2
2
=1．
（Ⅱ）（1）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，檢驗(yàn)知
AF
≠2
FB
．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由
AF
=2
FB
，得（1-x1，-y1）=2（x2-1，y2），則有y1=-2y2①，
設(shè)直線l：x=my+1，聯(lián)立
x=my+1
x2
3
+
y2
2
=1
消去x，整理得（2m2+3）y2+4my-4=0．
∴y1+y2=-
4m
2m2+3
，y1y2=
-4
2m2+3
．
結(jié)合①，得y1=-
8m
2m2+3
，y2=
4m
2m2+3
．
代入y1y2=
-4
2m2+3
，得-
8m
2m2+3
×
4m
2m2+3
=-
4
2m2+3
，即
8m2
2m2+3
=1，解得m=±
2
2
，
故直線l的方程是x=±
2
2
y+1．
（2）問(wèn)題等價(jià)于在橢圓上是否存在點(diǎn)P，使得
OP
=
OA
+
OB
成立．
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，可以驗(yàn)證不存在這樣的點(diǎn)，故設(shè)直線l的方程為x=my+1，
用（1）的設(shè)法，可得P（x1+x2，y1+y2）．
若點(diǎn)P在橢圓C上，則
(x1+x2)2
3
+
(y1+y2)2
2
=1，即
x12+2x1x2+x22
3
+
y12+2y1y2+y22
2
=1．
又點(diǎn)A，B在橢圓上，有
x12
3
+
y12
2
=1，
x22
3
+
y22
2
=1，
則
2
3
x1x2+y1y2+1=0，即2x1x2+3y1y2+3=0②，
由（1）知x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1=-
8m2
2m2+3
+1，
代入②式得-
16m2
2m2+3
+2-
12
2m2+3
+3=0，解得m2=
1
2
，即m=±
2
2
．
當(dāng)m=
2
2
時(shí)，y1+y2=-
4m
2m2+3
=-
2
2
，x1+x2=m(y1+y2)+2=-
1
2
+2=
3
2
；
當(dāng)m=-
2
2
時(shí)，y1+y2=-
4m
2m2+3
=
2
2
，x1+x2=m(y1+y2)+2=-
1
2
+2=
3
2
．
故橢圓C上存在點(diǎn)P(
3
2
，±
2
2
)，使得
OP
=
OA
+
OB
成立，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與橢圓C存在公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的坐標(biāo)是(
3
2
，±
2
2
)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、橢圓方程及性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、平面向量等知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•臨沂三模）設(shè)a=log23，b=log43，c=
1
2
，則（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•臨沂三模）復(fù)數(shù)z滿足方程z=（z-2）i（i為虛數(shù)單位），則z=（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•臨沂三模）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在某項(xiàng)測(cè)試中的6次成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示，
.
x
1，
.
x
2分別表示甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)，s1，s2分別表示甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•臨沂三模）如圖是函數(shù)f（x）=x2+ax+b的部分圖象，函數(shù)g（x）=ex-f'（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（k，k+1）（k∈z），則k的值為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•臨沂三模）函數(shù)y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分圖象如圖所示，設(shè)P是圖象的最高點(diǎn)，A，B是圖象與x軸的交點(diǎn)，則tan∠APB=（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案