Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+x²+2x-1（a∈R）．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）是否存在常數(shù)a，使得?x∈[-2，4]，f（x）≤3恒成立？若存在，求常數(shù)a的值或取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）方法一：由f（x）=ax³+x²+2x-1≤3，構(gòu)造函數(shù)g(x)=

4

x3

-

2

x2

-

1

x

，其中x∈[-2，0）∪（0，4]
求出新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化f（x）=ax³+x²+2x-1≤3，當(dāng)x∈（0，4]時(shí)，a≤

4

x3

-

2

x2

-

1

x

，a的取值范圍為(-∞，-

1

2

]，當(dāng)x∈[-2，0）時(shí)，a≥

4

x3

-

2

x2

-

1

x

，a的取值范圍為[-

1

2

，+∞)，然后求出a的值．
方法二，通過a≥0時(shí)，驗(yàn)證f（4）=64a+23≥23不符合題意，a＜0時(shí)，解f′（x），通過

f(-2)=-8a-1≤3 f(4)=64a+23≤3

，解得a的范圍，通過兩個(gè)根的范圍，推出a的范圍，然后推出a的值．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²+2x+2…（1分），所求切線的斜率k=f′（0）=2…（2分）
所求切線方程為y-f（0）=k（x-0）（或y=kx+f（0））…（3分）
即y=2x-1…（4分）
（2）（方法一）由f（x）=ax³+x²+2x-1≤3，作函數(shù)g(x)=

4

x3

-

2

x2

-

1

x

，其中x∈[-2，0）∪（0，4]…（5分）g/(x)=-

12

x4

+

4

x3

+

1

x2

=

1

x4

(x+6)(x-2)…（6分）

x	[-2，0）	（0，2）	2	（2，4]
g′（x）	-	-	0	+
g（x）	↘	↘	極小值	↗

…（9分）（每行1分）
由上表可知，?x∈[-2，0），g(x)≤g(-2)=-

1

2

；?x∈（0，4]，g(x)≥g(2)=-

1

2

…（11分）
由f（x）=ax³+x²+2x-1≤3，當(dāng)x∈（0，4]時(shí)，a≤

4

x3

-

2

x2

-

1

x

，a的取值范圍為(-∞，-

1

2

]，當(dāng)x∈[-2，0）時(shí)，a≥

4

x3

-

2

x2

-

1

x

，a的取值范圍為[-

1

2

，+∞)…（13分）
∵(-∞，-

1

2

]∩[-

1

2

，+∞)={-

1

2

}，f（0）=-1≤3恒成立，∴a=-

1

2

…（14分）
（方法二）a≥0時(shí)，f（4）=64a+23≥23不符合題意…（5分）
a＜0時(shí)，解f′（x）=3ax²+2x+2=0得x1=

-1+ 1-6a

3a

，x2=

-1- 1-6a

3a

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

…（8分），
由

f(-2)=-8a-1≤3 f(4)=64a+23≤3

…（10分），
解得-

1

2

≤a≤-

5

16

…（11分）
此時(shí)x2=

2

1-6a -1

＜4，x1=

-1+ 1-6a

3a

=

-2

1-6a +1

＞-2…（12分）
∴f(x2)=ax23+x22+2x2-1≤3，即x22+4x2-12≤0，-6≤x₂≤2…（13分）
解x2=

2

1-6a -1

≤2得a≤-

1

2

，綜上所述a=-

1

2

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，切線方程的求法，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．