Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-x+1，
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：lnx≤x-1．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求函數(shù)的定義域（0，+∞），再求導(dǎo)f′(x)=

1

x

-1；從而確定單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）知f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）為減函數(shù)，從而化為最值問題．

解答： 解：（1）由已知得x∈（0，+∞），
f′(x)=

1

x

-1；
令f'（x）＞0，得

1

x

-1＞0，
解得0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
令f'（x）＜0，得

1

x

-1＜0，
解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）為減函數(shù)．
（2）證明：由（1）知：
∵f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）為減函數(shù)．
∴當(dāng)x=1時，f（x）_max=-1+1=0；
對任意x∈（0，+∞），有f（x）≤0，
即lnx-x+1≤0．
即lnx≤x-1．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題的處理方法應(yīng)用，屬于中檔題．