Question

如圖所示，有兩條相交成60°的直線xx′、yy′，其交點(diǎn)是O，甲、乙兩輛汽車分別在xx′、yy′上行駛，起初甲離O點(diǎn)30 km，乙離O點(diǎn)10 km，后來兩車均以60 km/h的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行駛．
（1）起初兩車的距離是多少？
（2）t小時(shí)后兩車的距離是多少？
（3）何時(shí)兩車的距離最短？

Answer 1

解：（1）設(shè)甲、乙兩車最初的位置為A、B，
則=||²+||²-2||||cos60°=700．
故=km=10km．
（2）設(shè)甲、乙兩車t小時(shí)后的位置分別為P、Q，
則．
當(dāng)時(shí)，=（30-60t）²+（10+60t）²-2（30-60t）（10+60t）cos60°；
當(dāng)時(shí)，=（60t-30）²+（10+60t）²-2（60t-30）（10+60t）cos120°．
上面兩式可統(tǒng)一為=10800t²-3600t+700，
即=10km．
（3）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59887.png' />=10，
故當(dāng)t=，即在第10分鐘末時(shí)，兩車距離最短，最短距離為20km．
分析：（1）先設(shè)甲、乙兩車最初的位置為A、B，將距離轉(zhuǎn)化為向量問題，然后利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求甲乙兩車的距離．
（2）設(shè)甲、乙兩車t小時(shí)后的位置分別為P、Q，則．利用余弦定理可得即=10km．
（3）由（2）得關(guān)于PQ的表達(dá)式，通過利用二次函數(shù)可探討其最大值．
點(diǎn)評：本題考查了向量在物理中的應(yīng)用及余弦定理，通過設(shè)點(diǎn)將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，靈活的考查了學(xué)生分析問題解問題的能了，是個(gè)中檔題．