Question

如圖所示，有兩條相交成60°角的直線xx′，y′y，交點(diǎn)是O，甲、乙分別在ox，oy上，起初甲離O點(diǎn)3km，乙離O點(diǎn)1km，后來兩人同時(shí)用每小時(shí)4km的速度，甲沿xx′的方向，乙沿y′y的方向步行．
（1）起初兩人的距離是多少？
（2）用包含t的式子表示t小時(shí)后兩人的距離？
（3）什么時(shí)候兩人的距離最短？

Answer 1

分析：（1）連接AB，在三角形OAB中，過A作出OB邊上的高AD，利用三角函數(shù)求出AB即可；
（2）設(shè)兩人的距離為ykm根據(jù)題意分兩種情況討論即A與O不重合，A和O重合，分別利用三角函數(shù)求出AB即可得到y(tǒng)的解析式；（3）利用二次函數(shù)求最小值的方法求出y的最小值即可．

解答：解：（1）連接AB，在三角形OAB中，過A作出OB邊上的高AD，
在直角三角形OAD中，OA=3，OB=1，
因?yàn)椤螦OB=60°
所以BD=1.5-1=0.5，AD=OAsin60°=

3 3

2

，
則根據(jù)勾股定理得AB=

7

km；
（2）①A在O的右邊，則t小時(shí)走的路為4t，和（1）計(jì)算方法一樣，
得AB=

48t2-24t+ 117 36

，且0≤t＜

3

4

；
②A和O重合時(shí)，AB=4t+1，t=

3

4

；
③A在O的左邊，AB=

( 1-4t 2 +4t-3)2+( 3 +4 3 t 2 )2

，
（3）因?yàn)锳B=

48t2-24t+ 117 36

且0≤t＜

3

4

，設(shè)m=48t²-24t+

117

36

，
求出m在[0，

3

4

）的最小值為m（0）=

117

36

，
所以AB的最小值為

7

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型的能力，利用三角函數(shù)解直角三角形的能力，以及利用二次函數(shù)求最值的能力．