若Rt△ABC所在平面外一點P到△ABC的三個頂點距離相等.求證:過點P和△ABC斜邊中點的直線必垂直于三角形所在的平面.

思路分析:如圖2-3-7,Rt△ABC中,∠C=90°,D為斜邊AB中點.

圖2-3-7

在△PDA與△PDB中,PA=PB,PD=PD,AD=BD,這兩個三角形全等.

所以∠PDA=∠PDB=90°,同時可有△PDA和△PDC全等,

所以∠PDC=∠PDA=90°,問題得證.

證明:∵PA=PB,PD=PD,AD=BD,

∴△PDA≌△PDB.

∴∠PDA=∠PDB.

又∠PDA+∠PDB=180°,

∴∠PDA=∠PDB=90°.

∴PD⊥AB.

同理△PDA≌△PDC.

∴∠PDC=∠PDA=90°.

∴PD⊥DC.

又DC與AB相交,

∴PD⊥平面ABC.

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