若Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等．求證：過點(diǎn)P和△ABC斜邊中點(diǎn)的直線必垂直于三角形所在的平面．

答案：
解析：

　　證明：∵PA＝PB，PD＝PD，AD＝BD，

　　∴△PDA≌△PDB．

　　∴∠PDA＝∠PDB．

　　又∠PDA＋∠PDB＝180°，

　　∴∠PDA＝∠PDB＝90°．

　　∴PD⊥AB．

　　同理△PDA≌△PDC．

　　∴∠PDC＝∠PDA＝90°．

　　∴PD⊥DC．

　　又DC與AB相交，

　　∴PD⊥平面ABC．

　　思路分析：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，D為斜邊AB中點(diǎn)．

　　在△PDA與△PDB中，PA＝PB，PD＝PD，AD＝BD，這兩個(gè)三角形全等．

　　所以∠PDA＝∠PDB＝90°，同時(shí)可有△PDA和△PDC全等，

　　所以∠PDC＝∠PDA＝90°，問題得證．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，點(diǎn)P是Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)，∠ABC=90°，點(diǎn)P在平面ABC上的射影在AB上，E、F、G分別為AB、PB、PC的中點(diǎn)．若PA=BC=4，求△EFG的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.求證:過點(diǎn)P和△ABC斜邊中點(diǎn)的直線必垂直于三角形所在的平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S滿足SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點(diǎn).

(1)求證:SD⊥平面ABC;

(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.

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如圖，點(diǎn)P是Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)，∠ABC=90°，點(diǎn)P在平面ABC上的射影在AB上，E、F、G分別為AB、PB、PC的中點(diǎn)．若PA=BC=4，求△EFG的面積．

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