Question

若a∈[2，6]，b∈[0，4]，
（1）求關(guān)于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0有實(shí)數(shù)根的概率；
（2）求關(guān)于x的一元二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0沒有實(shí)根的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）求出方程x²-2ax+b²=0有實(shí)數(shù)根的等價(jià)條件，利用幾何概型的概率公式，即可得到結(jié)論．
（2）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用幾何概型的概率公式求出相應(yīng)的面積即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）若一元二次方程x²-2ax+b²=0有實(shí)數(shù)根，則△=4a²-4b²≥0，即a²≥b²，∴a≥b，
作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖1：
則E（2，2），F(xiàn)（4，4），B（6，4），C（6，0），D（2，0），A（2，4），
對(duì)應(yīng)正方形ABCD的面積S=4×4=16，
五邊形BCDEF的面積S=16-

1

2

×2×2=14，
則方程x²-2ax+b²=0有實(shí)數(shù)根的概率P=

SBCDEF

SABCD

=

14

16

=

7

8

．
（2）若關(guān)于x的一元二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0，則△=4（a-2）²-4（16-b²）＜0，即（a-2）²+b²＜16，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖2：
則扇形ADC的面積S=

1

4

×π×42=4π
則由幾何概型的概率公式可得方程x²-2（a-2）x-b²+16=0沒有實(shí)根概率P=

4π

16

=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查概率的計(jì)算，根據(jù)幾何概型的概率公式是解決本題的關(guān)鍵，注意利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．．