Question

【題目】如圖甲所示，BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，OB=BC=1，OD=3OA，現(xiàn)將梯形ABCD沿OB折起如圖乙所示的四棱錐P﹣OBCD，使得PC= ，點E是線段PB上一動點．
（1）證明：DE和PC不可能垂直；
（2）當(dāng)PE=2BE時，求PD與平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖甲所示，因為BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，

所以AO=OB

因為BC=1，OD=3OA，可得OD=3，OC=

如圖乙所示，OP=OA=1，OC= ，PC= ，

所以有OP2+OC2=PC2，所以O(shè)P⊥OC

而OB⊥OP，OB∩OC=O，所以O(shè)P⊥平面OPD

又OB⊥OD，所以O(shè)B、OD、OP兩兩垂直．故以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，3，0）

設(shè)E（x，0，1﹣x），其中0≤x≤1，所以 =（x，﹣3，1﹣x）， =（1，1，﹣1），

假設(shè)DE和SC垂直，則 =0，有x﹣3+（1﹣x）（﹣1）=0，解得x=2，

這與0≤x≤1矛盾，假設(shè)不成立，所以DE和SC不可能垂直

（2）解：因為PE=2BE，所以 E（ ，0， ）

設(shè)平面CDE的一個法向量是 =（x，y，z），

因為 =（﹣1，2，0）， =（ ，﹣3， ），所以

取 =（2，1，5）

而 =（0，3，﹣1），所以|cos＜ ， ＞= ，

所以PD與平面CDE所成角的正弦值為 ．

【解析】由題可知，可以直接建立空間直角坐標(biāo)線證明位置關(guān)系和計算角．（1）只要證明 =0不成立即可．（2）求出平面CDE的法向量，用向量角的余弦值來求PD與平面CDE所成角的正弦值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．