【題目】已知A(x1 , f(x1),B(x2 , f(x2))是函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ<0)圖象上的任意兩點(diǎn),且初相φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,﹣ ),若|f(x1)﹣f(x2)|=4時(shí),|x1﹣x2|的最小值為 . (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[0, ]時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)x∈[0, ]時(shí),不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)∵初相φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,﹣ ), ∴φ為第四象限角,且tanφ= =﹣ ,
再結(jié)合﹣ <φ<0,可得φ=﹣ .
∵|f(x1)﹣f(x2)|=4時(shí),|x1﹣x2|的最小值為 = = ,
∴ω=3,函數(shù)f(x)=2sin(3x﹣ ).
(Ⅱ)令2kπ﹣ ≤3x﹣ ≤2kπ+ ,
求得 ﹣ ≤x≤ + ,
可得函數(shù)的增區(qū)間為[ ﹣ , + ].
再結(jié)合x(chóng)∈[0, ],
可得當(dāng)x∈[0, ]時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為[0, ].
(Ⅲ)∵當(dāng)x∈[0, ]時(shí),
∴3x﹣ ∈[﹣ , ],
f(x)∈[﹣ ,1],
故 1﹣ 的最大值為1﹣ = .
不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,
即m≥ =1﹣ 恒成立,
∴m≥ .
【解析】(Ⅰ)由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義,求得tanφ的值,可得φ的值.(Ⅱ)由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(Ⅲ)由題意可得f(x)的值域,可得 1﹣ 的最大值,條件即m≥ =1﹣ 恒成立,從而求得m的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“莞馬”活動(dòng)中的α機(jī)器人一度成為新聞熱點(diǎn),為檢測(cè)其質(zhì)量,從一生產(chǎn)流水線(xiàn)上抽取20件該產(chǎn)品,其中合格產(chǎn)品有15件,不合格的產(chǎn)品有5件.
(1)現(xiàn)從這20件產(chǎn)品中任意抽取2件,記不合格的產(chǎn)品數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)用頻率估計(jì)概率,現(xiàn)從流水線(xiàn)中任意抽取三個(gè)機(jī)器人,記ξ為合格機(jī)器人與不合格機(jī)器人的件數(shù)差的絕對(duì)值,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題滿(mǎn)分12分)全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國(guó)網(wǎng)民中影響了的綜合指標(biāo).根據(jù)相關(guān)報(bào)道提供的全網(wǎng)傳播2015年某全國(guó)性大型活動(dòng)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”融合指數(shù)的數(shù)據(jù),對(duì)名列前20名的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表所示.
組號(hào) | 分組 | 頻數(shù) |
1 | 2 | |
2 | 8 | |
3 | 7 | |
4 | 3 |
(Ⅰ)現(xiàn)從融合指數(shù)在和內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家進(jìn)行調(diào)研,求至少有1家的融合指數(shù)在的概率;
(Ⅱ)根據(jù)分組統(tǒng)計(jì)表求這20家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)的平均數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,曲線(xiàn)是以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn), 軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn),且焦點(diǎn)在軸正半軸上,圓.過(guò)焦點(diǎn)且與軸平行的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn),且.
(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線(xiàn)過(guò)且與拋物線(xiàn)和圓依次交于,且直線(xiàn)的斜率,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱柱中,底面和側(cè)面都是矩形,是的中點(diǎn),,.
(1)求證:底面;
(2)若直線(xiàn)與平面所成的角為,求四棱錐體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家,他所著的《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,體現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就.其中的“更相減損術(shù)”蘊(yùn)含了豐富的思想,根據(jù)“更相減損術(shù)”的思想設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖,若輸入的a=15,輸出的a=3,則輸入的b可能的值為( )
A.30
B.18
C.5
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿(mǎn)分10分)選修4—5:不等式選講
設(shè)函數(shù)f(x)=|2x﹣7|+1.
(Ⅰ)求不等式f(x)≤x的解集;
(Ⅱ)若存在x使不等式f(x)﹣2|x﹣1|≤a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的離心率為,且過(guò)點(diǎn), , 是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線(xiàn): ,且,垂足為, ,垂足為,若,且的面積是面積的5倍,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是二次函數(shù),其圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),且在點(diǎn)(-2,f(-2))處的切線(xiàn)方程為2x+y+3=0
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)求f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積;
(3)若直線(xiàn)x=-t(0<t<1)把f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分,求t的值.
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