已知函數(shù)f(x)=+ln x.
(1)當(dāng)a=時,求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-x在[1,e]上為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(1) 最大值是0,最小值是ln 2-1   (2)
(1)當(dāng)a=時,f(x)=+ln x,
f′(x)=,令f′(x)=0,得x=2.
∴當(dāng)x∈[1,2)時,f′(x)<0,故f(x)在[1,2)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(2,e]時,f′(x)>0,故f(x)在(2,e]上單調(diào)遞增.
∴f(x)在區(qū)間[1,e]上有唯一的極小值點(diǎn),
故f(x)min=f(x)極小值=f(2)=ln 2-1.
又∵f(1)=0,f(e)=<0.
∴f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值f(x)max=f(1)=0.
綜上可知,函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值是0,最小值是ln 2-1.
(2)∵g(x)=f(x)-x=+ln x-x,
∴g′(x)= (a>0),
設(shè)φ(x)=-ax2+4ax-4,由題意知,只需φ(x)≥0在[1,e]上恒成立即可滿足題意.
∵a>0,函數(shù)φ(x)的圖象的對稱軸為x=2,
∴只需φ(1)=3a-4≥0,即a≥即可.
故正實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
練習(xí)冊系列答案
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B.在(0,10)上是減函數(shù)
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D.-x0是-f(-x)的極小值點(diǎn)

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