已知向量
a
,
b
滿足|
a
|=2,|
b
|=1,且
a
b
的夾角為
π
3

(1)若向量
a
+k
b
a
-k
b
相互垂直,求實(shí)數(shù)k的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)λ,使向量2λ
a
+7
b
與向量
a
b
的夾角為鈍角?若存在,求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍,若不存在,說明理由.
考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:(1)利用向量
a
+k
b
a
-k
b
相互垂直?(
a
+k
b
)•(
a
-k
b
)
=0,解得即可;
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使向量
a
+7
b
與向量
a
b
的夾角為鈍角,則(2λ
a
+7
b
)•(
a
b
)
<0,且不能反向.
解答: 解:(1)∵向量
a
+k
b
a
-k
b
相互垂直,
(
a
+k
b
)•(
a
-k
b
)=
a
2
-k2
b
2
=4-k2=0

解得k=±2.
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使向量
a
+7
b
與向量
a
b
的夾角為鈍角,
∵向量
a
b
滿足|
a
|=2,|
b
|=1,且
a
b
的夾角為
π
3

a
b
=|
a
| |
b
|cos
π
3
=2×1×
1
2
=1.
(2λ
a
+7
b
)•(
a
b
)
=
a
2
+(2λ2+7)
a
b
+
b
2
=8λ+2λ2+7+7λ=2λ2+15λ+7<0.
解得-7<λ<-
1
2

又當(dāng)向量
a
+7
b
與向量
a
b
反向共線時(shí),此時(shí)λ=-
14
2

∴λ的取值范圍為(-7,-
14
2
)∪(-
14
2
,-
1
2
)
點(diǎn)評:本題考查了向量的垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量的夾角、向量共線、數(shù)量積的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,考查了考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如圖所示,則該幾何體的體積為(  )
A、48B、72C、12D、24

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復(fù)數(shù)z滿足:z(1+i2013)=i2014(i是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)位于(  )
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已知函數(shù)f(x)=asinx+bcosx+c(a,b,c∈R,a≠0,c≠1)的圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)(
11π
6
,1),保持f(x)圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,將橫坐標(biāo)縮小為原來的
3
π
倍,再將所得的圖象向左平移1個(gè)單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象,又方程g(x)=3的所有正根從小到大組成一個(gè)公差為3的等差數(shù)列{an}.
(1)求函數(shù)g(x)的最小正周期和函數(shù)g(x)的解析式和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)記bn=
1
3
an
,求bn=
1
3
an,求S=a2+a3+
1
b1
+
1
b2
+
1
b3
+…+
1
b106
的整數(shù)部分.

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袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球.已知從袋中任意摸出2個(gè)球,至少得到1個(gè)白球的概率是
7
9

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(2)從袋中任意摸出3個(gè)球,記得到白球的個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.

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已知:如圖,等腰直角三角形ABC的直角邊AC=BC=2,沿其中位線DE將平面ADE折起,使平面ADE⊥平面BCDE,得到四棱錐A-BCDE,設(shè)CD、BE、AE、AD的中點(diǎn)分別為M、N、P、Q.

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(2)求證:平面ABC⊥平面ACD;
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某種燈泡使用壽命在1000小時(shí)以上的概率為0.2,某同學(xué)家一共用了這種燈泡4只.設(shè)這4只燈泡在使用1000小時(shí)后,壞了的燈泡數(shù)為隨機(jī)變量X.
(1)求隨機(jī)變量X的概率分布;    
(2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.

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(2)求證:EF⊥CD.

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