已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx+c（a，b，c∈R，a≠0，c≠1）的圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)（
11π
6
，1），保持f（x）圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)縮小為原來的
3
π
倍，再將所得的圖象向左平移1個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，又方程g（x）=3的所有正根從小到大組成一個(gè)公差為3的等差數(shù)列{an}．
（1）求函數(shù)g（x）的最小正周期和函數(shù)g（x）的解析式和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）記bn=
1
3
an，求bn=
1
3
an，求S=a2+a3+
1
b1
+
1
b2
+
1
b3
+…+
1
b106
的整數(shù)部分．
考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和
專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）利用輔助角公式對函數(shù)解析式化簡整理，把最低點(diǎn)坐標(biāo)代入求得函數(shù)的解析式，根據(jù)方程g（x）=3的所有正根從小到大組成一個(gè)公差為3的等差數(shù)列{an}，求出c，即可求函數(shù)g（x）的最小正周期和函數(shù)g（x）的解析式和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由g（x）=3，可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）利用放縮法求和，即可得出結(jié)論．
解答： 解：f(x)=asinx+bcosx+c=
a2+b2
sin(x+φ)+c的圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)(
11π
6
，1)⇒
11π
6
+φ=
3π
2
+2kπ(k∈Z)
-
a2+b2
+c=1
⇒
φ=-
π
3
+2kπ(k∈Z)
a2+b2
=c-1
⇒f(x)=(c-1)sin(x-
π
3
)+c．
保持f（x）圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)縮小為原來的
3
π
倍得到函數(shù)：y=(c-1)sin(
π
3
x-
π
3
)+c，
再將所得的圖象向左平移1個(gè)單位得到函數(shù)：y=(c-1)sin(
π
3
x)+c，所以，g(x)=(c-1)sin(
π
3
x)+c．
（1）因?yàn)閏≠1，所以函數(shù)g（x）的最小正周期為T=
2π
π
3
=6．
又方程g（x）=3的所有正根從小到大組成一個(gè)公差為3的等差數(shù)列{an}，
所以c=3，g(x)=2sin(
π
3
x)+3(x∈R)，由2kπ+
π
2
≤
π
3
x≤2kπ+
3π
2
⇒6k+
3
2
≤x≤6k+
9
2
得：
函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[6k+
3
2
，6k+
9
2
](k∈N*)
（2）g(x)=3?sin(
π
3
x)=0?
π
3
x=kπ?x=3k，于是an=3n(n∈N*)
（3）bn=
1
3
an=n⇒
設(shè)M=
1
b1
+
1
b2
+
1
b3
+…+
1
b106
=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
106

由此，得M=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
106
=1+
2
2
+
2
+
2
3
+
3
+…+
2
106
+
106
＜1+
2
2
+1
+
2
3
+
2
+…+
2
106
+
106-1
=1+2(
1
2
+1
+
1
3
+
2
+…+
1
106
+
106-1
)=1+2[(
2
-1)+(
3
-
2
)+…+(
106
-
106-1
)]=1+2(-1+
106
)=1999．
又知M＞1+
1
2
+
1
3
+…+
1
106-1
＞
2
2
+1
+
2
3
+
2
+…+
2
106
+
106-1
=2(-1+
106
)=1998．
∴1998＜M＜1999，又a2+a3=15⇒2013＜S＜2014
所以S=a2+a3+
1
b1
+
1
b2
+
1
b3
+…+
1
b106
的整數(shù)部分是[S]=2013．
點(diǎn)評：本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象變換，三角函數(shù)與數(shù)列的綜合，直線與曲線的關(guān)系等知識的綜合運(yùn)用，屬于綜合試題，要求考生具備一定的推理論證的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

不等式sin（π+x）＞0成立的x的取值范圍為（　�。�
A、（0，π）
B、（π，2π）
C、（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）
D、（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈Z）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）的零點(diǎn)與g（x）=lnx+2x-8的零點(diǎn)之差的絕對值不超過0.5，則f（x）可以是（　�。�
A、f（x）=3x-6
B、f（x）=（x-4）2
C、f（x）=ex-1-1
D、f（x）=ln（x-
5
2
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若存在實(shí)數(shù)對（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b對定義域中的每一個(gè)x都成立，則稱函數(shù)f（x）是“（a，b）型函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=3x是否為“（a，b）型函數(shù)”，并說明理由；
（2）已知函數(shù)g（x）是“（1，4）型函數(shù)”，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，g（x）=x2-4x+4，當(dāng)x∈[1，2]，求函數(shù)h（x）=（x+2）g（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=2x3-6x2-18x，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（
1
2
，
1
2
sinx+
3
2
cosx）與
b
=（1，y）共線，設(shè)函數(shù)y=f（x）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及值域；
（2）已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C若有f（A-
π
3
）=
3
，AC=1，AB=2，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=2，|
b
|=1，且
a
與
b
的夾角為
π
3
．
（1）若向量
a
+k
b
與
a
-k
b
相互垂直，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使向量2λ
a
+7
b
與向量
a
+λ
b
的夾角為鈍角？若存在，求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

馬航MH370失蹤牽動(dòng)全球人的眼光，某衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海上A處北偏東45°方向，距離A點(diǎn)100（
3
-1）海里的B處有一疑是漂浮物，在A處北偏西75°方向，距離A點(diǎn)200海里的C處我方“海巡1號”奉命以10
3
海里/小時(shí)的速度去捕撈此漂浮物，而漂浮物順洋流正以10海里/小時(shí)的速度，以B處向北偏東30°方向漂流．問海巡1號沿什么方向行駛才能最快到達(dá)疑是漂浮物出，并求出所需時(shí)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3+x2+ax，討論f（x）的單調(diào)性．

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同步練習(xí)冊答案