【題目】已知橢圓 的離心率為,若橢圓與圓相交于M,N兩點,且圓E在橢圓內(nèi)的弧長為.

(1)求橢圓的方程;

(2)過橢圓的上焦點作兩條相互垂直的直線,分別交橢圓于A,B、C,D,求證:為定值.

【答案】(1);(2)證明見解析。

【解析】

(1) 可設(shè),得,解方程即得橢圓方程. (2)證明:①若AB斜率不存在,易求得. ②當(dāng)斜率存在時,設(shè)斜率為,直線的方程為,求出,同理可得,再計算.

(1)由圓在橢圓內(nèi)的弧長為知該弧所對的圓心角為,

圓心在該弧的上方,可設(shè)

設(shè)橢圓方程為,

,解得

所以橢圓方程為.

(2)證明:①若AB斜率不存在,則.此時. .

所以;

②當(dāng)斜率存在時,設(shè)斜率為,直線的方程為,

設(shè),,聯(lián)立方程得消去得(.

所以,

,

因為垂直,所以直線的斜率為,同理可得

所以

綜上 。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】對某校高一年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:

分組

頻數(shù)

頻率

[10,15)

10

0.25

[15,20)

25

n

[20,25)

m

p

[25,30)

2

0.05

合計

M

1

(1)求出表中M,p及圖中a的值;

(2)若該校高一學(xué)生有360人,試估計該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[15,20)內(nèi)的人數(shù);

(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,請列舉出所有基本事件,并求至多1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20,25)內(nèi)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,在四棱錐,平面,,,.

(1)求證:;

(2)當(dāng)幾何體的體積等于,求四棱錐的側(cè)面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】交強險是車主必須為機(jī)動車購買的險種.若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準(zhǔn)保費)統(tǒng)一為a元,在下一年續(xù)保時,實行的是費率浮動機(jī)制,保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費率也就越高,具體浮動情況如表:

交強險浮動因素和浮動費率比率表

浮動因素

浮動比率

A1

上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮10%

A2

上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮20%

A3

上三個及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮30%

A4

上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

0%

A5

上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故

上浮10%

A6

上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故

上浮30%

某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況,統(tǒng)計得到了下面的表格:

類型

A1

A2

A3

A4

A5

A6

數(shù)量

10

5

5

20

15

5

以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問題:
(Ⅰ)按照我國《機(jī)動車交通事故責(zé)任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定a=950.記X為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望值;(數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字)
(Ⅱ)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元,一輛非事故車盈利10000元:
①若該銷售商購進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;
②若該銷售商一次購進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求他獲得利潤的期望值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】長方體ABCDA1B1C1D1中,AA1AB=2,AD=1,點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點.求異面直線A1EGF所成角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣
(1)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)不單調(diào),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]內(nèi)單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若x1、x2∈R+ , 且x1≤x2 , 求證:(lnx1﹣lnx2)(x1+2x2)≤3(x1﹣x2).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在考試測評中,常用難度曲線圖來檢測題目的質(zhì)量,一般來說,全卷得分高的學(xué)生,在某道題目上的答對率也應(yīng)較高,如果是某次數(shù)學(xué)測試壓軸題的第1、2問得分難度曲線圖,第1、2問滿分均為6分,圖中橫坐標(biāo)為分?jǐn)?shù)段,縱坐標(biāo)為該分?jǐn)?shù)段的全體考生在第1、2問的平均難度,則下列說法正確的是(
A.此題沒有考生得12分
B.此題第1問比第2問更能區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)成績的好與壞
C.分?jǐn)?shù)在[40,50)的考生此大題的平均得分大約為4.8分
D.全體考生第1問的得分標(biāo)準(zhǔn)差小于第2問的得分標(biāo)準(zhǔn)差

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=xe2x﹣lnx﹣ax.
(1)當(dāng)a=0時,求函數(shù)f(x)在[ ,1]上的最小值;
(2)若x>0,不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍;
(3)若x>0,不等式f( )﹣1≥ e + 恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定圓,定直線,過的一條動直線與直線相交于,與圓相交于, 兩點, 中點.

)當(dāng)垂直時,求證: 過圓心

)當(dāng),求直線的方程.

)設(shè),試問是否為定值,若為定值,請求出的值;若不為定值,請說明理由.

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