四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面面，已知
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）在SB上選取點(diǎn)P，使SD//平面PAC ，并證明；
（Ⅲ）求直線(xiàn)與面所成角的正弦值。

（1）（2）詳見(jiàn)試題解析; 

解析試題分析：（Ⅰ）要證線(xiàn)線(xiàn)垂直只要證明線(xiàn)面垂直,利用題中數(shù)據(jù)求出底面平行四邊形的各邊的長(zhǎng)度,找到 及 是等腰三角形，利用等腰三角形中線(xiàn)是高結(jié)論找到“線(xiàn)線(xiàn)垂直”關(guān)系（Ⅱ）要找線(xiàn)面平行先找線(xiàn)線(xiàn)平行,要找線(xiàn)線(xiàn)平行先找面面交線(xiàn)，即平面 與平面交線(xiàn) ， 注意到為中點(diǎn)的特點(diǎn)，即可導(dǎo)致∥，從而推出線(xiàn)面平行 （Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系，確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，再運(yùn)用空間向量進(jìn)行運(yùn)算.

 

 

試題解析：（Ⅰ）證明：連接AC， ，
由余弦定理得，  2分
取中點(diǎn)，連接，則.
 
面       4分
（Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，面
證明：連接 ，在中，∥  ，又 平面 ，
平面面， 平面.  7分
（3）如圖，以射線(xiàn)OA為X軸，以射線(xiàn)OB為軸，以射線(xiàn)OS為軸，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,則．
      
，9分
設(shè)平面法向量為
有令 ，則，

   11分   
所以直線(xiàn)與面所成角的正弦值為12分
考點(diǎn)：線(xiàn)面平行與垂直,線(xiàn)面角，空間向量的應(yīng)用

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點(diǎn)．
 
(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P－AC－E的余弦值為，求直線(xiàn)PA與平面EAC所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，平面平面，是等腰直角三角形，，四邊形是直角梯形，∥ＡＥ，，,分別為的中點(diǎn)．

（1）求異面直線(xiàn)與所成角的大小；
（2）求直線(xiàn)和平面所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，△是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，平面，，分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：∥平面；
（2）若為上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與平面所成最大角的正切值為時(shí)，求平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在直四棱柱中，底面為平行四邊形，且，，，為的中點(diǎn).

（1） 證明：∥平面；
（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如右圖，正方體的棱長(zhǎng)為1．應(yīng)用空間向量方法求：

⑴ 求和的夾角
⑵ ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為矩形，且PA="AD=1,AB=2," ,.
(1)求證：平面平面；
(2)求三棱錐D－PAC的體積；
(3)求直線(xiàn)PC與平面ABCD所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

已知直線(xiàn)ax+2y+2=0與3x﹣y﹣2=0平行，則系數(shù)a=（　�。�.

A．﹣3B．﹣6C．D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題12分）如圖：四棱錐P—ABCD中，底面ABCD

是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).
（1）證明：無(wú)論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PE⊥AF;
（2）當(dāng)BE等于何值時(shí)，PA與平面PDE所成角的大小為45°. 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案