已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且橢圓E上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4；，是過點(diǎn)且相互垂直的兩條直線，交橢圓E于，兩點(diǎn)，交橢圓E于，兩點(diǎn)，，的中點(diǎn)分別為，．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求直線的斜率的取值范圍；
（3）求證直線與直線的斜率乘積為定值．
（1）． （2）． （3）
本試題主要是考出了橢圓方程的求解，已知直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，求解直線的斜率問題，韋達(dá)定理的運(yùn)用，以及判別式的綜合運(yùn)用。
（1）結(jié)合橢圓的性質(zhì)，得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，進(jìn)而得到結(jié)論。
（2）設(shè)出直線方程，直線與橢圓的方程聯(lián)立，得到關(guān)于未知數(shù)的一元二次方程，然后借助于韋達(dá)定理和判別式得到k的取值范圍。
（3）利用兩點(diǎn)式得到直線的斜率，借助于韋達(dá)定理求證其積為定值。
（1）設(shè)橢圓E的方程為，
由得所以所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為． …… 4分
（2）由題意知，直線的斜率存在且不為零，由于，則，
由消去并化簡(jiǎn)整理，得， …… …… 6分
根據(jù)題意，，解得 ，同理可得，即，
∴有，解得．    …… 8分
（3）設(shè)，，，那么，
則 ，，即， 10分
同理可得，即，
∴ ，即直線與直線的斜率乘積為定值
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點(diǎn)的軌跡為曲線，過定點(diǎn)任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點(diǎn)。
（I）求曲線的方程；
（II）試證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知M、N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線PM、PN的斜率分別為k1、k2（），若的最小值為1，則橢圓的離心率為           。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分15分）設(shè)橢圓的離心率右焦點(diǎn)到直線的距離，為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（Ⅰ)求橢圓的方程；
（Ⅱ)過點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于兩點(diǎn)，證明點(diǎn)到直線的距離為定值，并求弦長(zhǎng)度的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

．（本小題滿分12分）
在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)，，直線與的斜率之積為.
（I）求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程;
（II）過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為(不重合)，求證：直線過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
已知橢圓的離心率為，點(diǎn)， 為上兩點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)，（，在直線兩側(cè)）．

（I）求四邊形面積的最大值；
（II）設(shè)直線，的斜率為，試判斷是否為定值．若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知橢圓以 為焦點(diǎn)，且離心率． 
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求的范圍。
（Ⅲ）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為，是否存在直線，滿足（Ⅱ）中的條件且使得向量與垂直？如果存在，寫出的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是雙曲線的焦點(diǎn)，是的平分線上一點(diǎn)，且.某同學(xué)用以下方法研究：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可知為等腰三角形，且為的中點(diǎn)，得.類似地：點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的焦點(diǎn)，是的平分線上一點(diǎn)，且，則的取值范圍是          .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

經(jīng)過兩點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程(    ).
A．B．C．D．

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同步練習(xí)冊(cè)答案