(本小題滿分12分)
已知點為圓上的動點,且不在軸上,軸,垂足為,線段中點的軌跡為曲線,過定點任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于、兩點。
(I)求曲線的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點,使得總能被軸平分
(1);(2)見解析.
(Ⅰ)利用相關點法把所求點的問題轉(zhuǎn)化已知動點問題,從而得到曲線的軌跡方程;(Ⅱ)聯(lián)立方程,利用韋達定理及條件轉(zhuǎn)化為點的坐標關系,從而求出點的坐標。
解:(1)設為曲線上的任意一點,則點在圓上,
,曲線的方程為.  ………………2分       
(2)設點的坐標為,直線的方程為,  ………………3分   
代入曲線的方程,可得 ,……5分            
,∴,
∴直線與曲線總有兩個公共點.(也可根據(jù)點M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論)
………………6分
設點,的坐標分別, ,則,               
要使軸平分,只要,            ………………9分
,,        ………………10分
也就是,,
,即只要  ………………12分  
時,(*)對任意的s都成立,從而總能被軸平分.
所以在x軸上存在定點,使得總能被軸平分.
練習冊系列答案
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