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如圖,已知拋物線C1:y=x2,與圓C2:x2+(y+1)2=1,過y軸上一點A(0,a)(a＞0)作圓C2的切線AD,切點為D(x0,y0).

(1)證明(a+1)(y0+1)=1;

(2)若切線AD交拋物線C1于點E,且E為AD的中點,求點A縱坐標a.

(1)證明:因為AD是圓C2:x2+(y+1)2=1的切線,

所以AD⊥C2D.

于是有×=-1,

即x02+y02+y0-ay0-a=0.① 

又因為x02+(y0+1)2=1,② 

由②-①得y0+ay0+a+1=1,即(a+1)(y0+1)=1,結論成立.

(2)解:因為E為AD的中點,其坐標為(,),

所以=()2,即2y0+2a=x02.

又因為D(x0,y0)在圓上,所以2y0+2a=1-(y0+1)2,即y02+4y0+2a=0,

將a=-1代入整理,得y0(y02+5y0+2)=0,y0≠-1.

得y0=0(因為切線為x軸,顯然不符合題意,舍去),

或y0=或y0=＜-2(不滿足圓的條件,舍去),

所以y0=.

再由a=-1==.

練習冊系列答案
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（Ⅰ）求拋物線C1的方程及其準線方程；
（Ⅱ）過拋物C1上的動點P作拋物線C2的兩條切線PM、PN，切點M、N．若PM、PN的斜率積為m，且m∈[2，4]，求|OP|的取值范圍．

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且∠MON=120°．
（Ⅰ）求拋物線C1的方程；
（Ⅱ）設直線l與圓C2相切．
（ⅰ）若直線l與拋物線C1也相切，求直線l的方程；
（ⅱ）若直線l與拋物線C1交與不同的A、B兩點，求
OA
•
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（14分）如圖，已知拋物線C1： y=x2, 與圓C2： x2+(y+1)2="1," 過y軸上一點A（0, a）（a>0）作圓C2的切線AD，切點為D（x0, y0）.

（1）證明：(a+1)(y0+1)=1

（2）若切線AD交拋物線C1于E，且E為AD的中點，求點A縱坐標a.

 

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科目：高中數學 來源：2011年福建省南平市高三適應性考試數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知拋物線C1：x2=2py（p＞0）與圓交于M、N兩點，
且∠MON=120°．
（Ⅰ）求拋物線C1的方程；
（Ⅱ）設直線l與圓C2相切．
（ⅰ）若直線l與拋物線C1也相切，求直線l的方程；
（ⅱ）若直線l與拋物線C1交與不同的A、B兩點，求的取值范圍．

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