Question

如圖，已知拋物線C₁：x²=2py（p＞0）與圓C2：x2+y2=

16

9

交于M、N兩點(diǎn)，
且∠MON=120°．
（Ⅰ）求拋物線C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與圓C₂相切．
（ⅰ）若直線l與拋物線C₁也相切，求直線l的方程；
（ⅱ）若直線l與拋物線C₁交與不同的A、B兩點(diǎn)，求

OA

•

OB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不妨設(shè)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)，根據(jù)題意可得：OM與x軸正半軸成30°，根據(jù)半徑得到點(diǎn)M的坐標(biāo)再代入拋物線的方程進(jìn)而得到P的值，即可求出拋物線的方程．
（Ⅱ）設(shè)l：y=kx+b，由題意可得：9b²=16（k²+1），
（ⅰ）設(shè)直線l與拋物線C₁相切于點(diǎn)T(t，

1

2

t2)，利用導(dǎo)數(shù)解決相切問(wèn)題，即可得到k，t，b的兩個(gè)關(guān)系式，結(jié)合上面所求的關(guān)系式進(jìn)而求出k與b的值，得到直線方程．
（ⅱ）由直線與拋物線相交可得b與k的一個(gè)關(guān)系式，結(jié)合結(jié)合上面所求的關(guān)系式求出b的范圍，再結(jié)合韋達(dá)定理利用b表示出

OA

•

OB

，進(jìn)而求出其范圍．

解答：解：（Ⅰ）不妨設(shè)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)，
因?yàn)椤螹ON=120°，所以O(shè)M與x軸正半軸成30°角，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

2 3

3

，

2

3

)，
即可將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線方程得(

2 3

3

)2=2p×

2

3

，
解得p=1，
所以拋物線C₁的方程為x²=2y…（3分）
（Ⅱ）設(shè)l：y=kx+b，即kx-y+b=0
因?yàn)閘與圓C₂相切，所以

|b|

k2+1

=

4

3

，即9b²=16（k²+1）---（1）…（5分）
（ⅰ）設(shè)直線l與拋物線C₁：x²=2y即y=

1

2

x2相切于點(diǎn)T(t，

1

2

t2)
因?yàn)楹瘮?shù)y=

1

2

x2的導(dǎo)數(shù)為y'=x，所以

k=t 1 2 t2=kt+b

----（2）
由（1）（2）解得

t=2 2 k=2 2 b=-4

或

t=-2 2 k=-2 2 b=-4

所以直線l的方程為y=-2

2

x-4或y=2

2

x-4…（9分）
（ⅱ）聯(lián)立直線l的方程與圓的方程

x2=2y y=kx+b

，整理得x²-2kx-2b=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b，
由△=4k²+8b＞0得k²+2b＞0----（3）
由（1）（3）可得

k2= 9 16 b2-1≥0 9 16 b2-1+2b＞0

，解得b≥

4

3

或b＜-4
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

1

4

(x1x2)2+x1x2=b2-2b∈[-

8

9

，+∞)
即

OA

•

OB

的取值范圍是[-

8

9

，+∞)…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓與拋物線、直線與拋物線的位置關(guān)系，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是對(duì)知識(shí)的綜合考查，屬于中檔題目．在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，一般常把直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解決問(wèn)題．