如圖,直角梯形中,,,,過,垂足為.分別是、的中點.現(xiàn)將沿折起,使二面角的平面角為.

(1)求證:平面平面;
(2)求直線與面所成角的正弦值.
(1)詳見解析;(2)求直線與面所成角的正弦值為.

試題分析:(1)利用折疊前以及、在同一平面內(nèi),得到在折疊后,由已知條件,結(jié)合直線與平面垂直的判定定理可以證明平面,最終利用平面與平面垂直的判定定理即可證明平面平面;(2)解法一是利用空間向量法,即以點為坐標原點,分別為軸、軸建立空間坐標系,將二面角進行適當轉(zhuǎn)化,再利用空間向量法求出直線與面所成角的正弦值;解法二是利用到(1)中的結(jié)論平面,只需作于點,于是確定直線與面所成角為,借助點的中點從而得到為中位線,于是確定點的中點,連接,在直角三角形中計算出.
試題解析:(1)證明:DEAE,CEAE,
 AE平面,   3分
 AE平面,平面平面.  5分
(2)(方法一)以E為原點,EA、EC分別為軸,建立空間直角坐標系  6分
DEAE,CEAE,是二面角的平面角,即=,  7分
,,,
A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),E(0,0,0),D(0,,1).  9分
分別是、的中點,F,G   10分
=,=,  11分
由(1)知是平面的法向量,    12分
設直線與面所成角,則,
故求直線與面所成角的正弦值為.   14分(列式1分,計算1分)
(方法二)作,與相交于,連接  6分
由(1)知AE平面,所以平面,是直線與平面所成角  7分
的中點,的中位線,,  8分
因為DEAE,CEAE,所以是二面角的平面角,即= 9分
中,由余弦定理得,
(或)  11分(列式1分,計算1分)
平面,所以,在中,   13分
所以直線與面所成角的正弦值為  14分
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