Question

【題目】 將1至這個自然數(shù)隨機填入n×n方格的個方格中，每個方格恰填一個數(shù)（）．對于同行或同列的每一對數(shù)，都計算較大數(shù)與較小數(shù)的比值，在這個比值中的最小值，稱為這一填數(shù)法的“特征值”．

（1）若，請寫出一種填數(shù)法，并計算此填數(shù)法的“特征值”；

（2）當時，請寫出一種填數(shù)法，使得此填數(shù)法的“特征值”為；

（3）求證：對任意一個填數(shù)法，其“特征值”不大于．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）可設1在第一行第一列，同行或是同列的兩個數(shù)的可能，可得特征值；

（2）寫出n=3時的圖標，由特征值的定義可得結(jié)果；

（3）設a，b利用分類討論，分情況證明出結(jié)果.

解：（1）當時，如下表填數(shù)：

同行或同列的每一對數(shù)，計算較大數(shù)與較小數(shù)的比值分別為

2，，3，2，可得此填數(shù)法的“特征值”為；

（2）當時，如下表填數(shù)：

同行或同列的每一對數(shù)，計算較大數(shù)與較小數(shù)的比值分別為

4，3，，5，9，，，，，，，，8，3，，，，，

可得此填數(shù)法的“特征值”為；

（3）不妨設A為任意一個填數(shù)法，記此填數(shù)法的“特征值”為C（A），

考慮含n+1個元素的集合B＝{n2，n2﹣1，n2﹣2，…，n2﹣n}，

易知其中必有至少兩個數(shù)處于同一行，設為

也必有至少兩個數(shù)處于同一列，設為．

①若

則有（因為）．

②若，即，

則，．

所以．

即不論何種情況，總有．