【題目】已知函數(shù)f(x)=9x﹣3x+1+c(其中c是常數(shù)).
(1)若當(dāng)x∈[0,1]時(shí),恒有f(x)<0成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;
(2)若存在x0∈[0,1],使f(x0)<0成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
【答案】
(1)解:f(x)=(3x)2﹣3×3x+c,令3x=t,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),t∈[1,3].
問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)t∈[1,3]時(shí),g(t)=t2﹣3t+c<0恒成立.
于是,只需g(t)在[1,3]上的最大值g(3)<0,即32﹣3×3+c<0,解得c<0.
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍是(﹣∞,0)
(2)解:若存在x0∈[0,1],使f(x0)<0,則存在t∈[1,3],使g(t)=t2﹣3t+c<0.
于是,只需g(t)在[1,3]上的最小值 <0,即 ,解得 .
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍是
【解析】(1)令3x=t把函數(shù)換元,化為關(guān)于t的二次函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值,由最大值小于0得答案;(2)由(1)中二次函數(shù)的最小值小于0求解c的范圍.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí)在上遞減,當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和直線的傾斜角;
(2)設(shè)點(diǎn),直線和曲線交于, 兩點(diǎn),求.
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【題目】已知函數(shù),直線.
(1)若直線與曲線相切,求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的值;
(2)若函數(shù),求證: .
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)為何值時(shí), 軸為曲線的切線;
(2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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【題目】某公司為了解廣告投入對(duì)銷售收益的影響,在若干地區(qū)各投入萬元廣告費(fèi)用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從開始計(jì)數(shù)的. [附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.]
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度;
(2)試估計(jì)該公司投入萬元廣告費(fèi)用之后,對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值);
(3)該公司按照類似的研究方法,測(cè)得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:
廣告投入 (單位:萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益 (單位:萬元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的數(shù)據(jù)顯示, 與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)將(2)的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+n﹣1,且a1=1.
(Ⅰ)求證:{an+n}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(文)已知y=f(x)是偶函數(shù),y=g(x)是奇函數(shù),它們的定義域均為[﹣3,3],且它們?cè)趚∈[0,3]上的圖象如圖所示,則不等式 的解集是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為常數(shù), 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.
(1)求的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意, .
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