Question

11．下列四個(gè)命題：
（1）函數(shù)f（x）在x＞0時(shí)是增函數(shù)，x＜0時(shí)也是增函數(shù)，所以f（x）是增函數(shù)；
（2）若m=log_a2，n=log_b2且m＞n，則a＜b；
（3）函數(shù)f（x）=x²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-3；
（4）y=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（x²+x-2）的減區(qū)間為（1，+∞）．
其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)分別判斷即可．

解答 解：對(duì)于（1），例如f（x）=-$\frac{1}{x}$在x＞0時(shí)是增函數(shù)，x＜0也是增函數(shù)；但f（x）在定義域上不是增函數(shù)，故（1）錯(cuò)；
對(duì)于（2）若m=log_a2，n=log_b2且m＞n，a＞1，b＞1時(shí)則a＜b；0＜a＜1，0＜b＜1時(shí)，a＞b，故（2）錯(cuò)誤；
對(duì)于（3）函數(shù)f（x）=x²+2（a-1）x+2的對(duì)稱(chēng)軸x=1-a，
若函數(shù)在區(qū)間（-∞，4]上是減函數(shù)，則1-a≥4，解得：a≤-3，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-3；故（3）正確；
對(duì)于（4）由y=x²+x-2＞0，解得：x＞1或x＜-2，
對(duì)稱(chēng)軸x=-$\frac{1}{2}$，故y=x²+x-2在（1，+∞）遞增，
故y=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（x²+x-2）的減區(qū)間為（1，+∞），（4）正確；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．