【題目】（12分）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值．

【答案】

（1）見解析

（2）二面角的余弦值為.

【解析】

（1）由題設(shè)可得，

又是直角三角形，所以

取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO,則DO⊥AC,DO=AO

又由于

所以

（2）

由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點(diǎn)，得E.故

設(shè)是平面DAE的法向量，則

可取

設(shè)是平面AEC的法向量，則同理可得

則

所以二面角D-AE-C的余弦值為

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M為CD的中點(diǎn)．如圖將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求證：BM⊥平面ADM；
（2）若點(diǎn)E是線段DB上的中點(diǎn)，求三棱錐E﹣ABM的體積V1與四棱錐D﹣ABCM的體積V2之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】計(jì)算題
（1）已知cos（ +x）= ，（ ＜x＜ ），求 的值．
（2）若 ， 是夾角60°的兩個(gè)單位向量，求 =2 + 與 =﹣3 +2 的夾角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}、{bn}滿足：a1= ，an+bn=1，bn+1= ．
（1）求a2 ， a3；
（2）證數(shù)列{ }為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1 ， 求實(shí)數(shù)λ為何值時(shí)4λSn＜bn恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若把函數(shù)y=sin（ωx﹣ ）的圖象向左平移 個(gè)單位，所得到的圖象與函數(shù)y=cosωx的圖象重合，則ω的一個(gè)可能取值是（ ）
A.2
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x2﹣1|﹣2a+3，下列五個(gè)結(jié)論：
①當(dāng) 時(shí)，函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)；
②當(dāng) 時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng) 時(shí)，函數(shù)f（x）有四個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)；
⑤當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論的序號(hào)是 ． （填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)。（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值）

求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

證明：b>3a;

若， 這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于，求a的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）在同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x= 時(shí)y取最大值1，當(dāng)x= 時(shí)y取最小值﹣1．
（1）求函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）；
（2）當(dāng)x∈[ ， ]時(shí)．求函數(shù)y=f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的三條邊分別是a，b，c，且 ．
（1）求角B的大��；
（2）若 ，求△ABC的面積．

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