Question

【題目】已知數(shù)列{an}、{bn}滿足：a1= ，an+bn=1，bn+1= ．
（1）求a2 ， a3；
（2）證數(shù)列{ }為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1 ， 求實(shí)數(shù)λ為何值時(shí)4λSn＜bn恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴ ， ，

， ， ．

∴

（2）證明：由 ，

∴ = ，

∴ ，即an﹣an+1=anan+1，

∴ =1

∴數(shù)列{ }是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．

∴ ，則 ，

∴

（3）解：由 ，

∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1

=

=

= ．

∴ ，

要使4λSn＜bn恒成立，只需（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＜0恒成立，

設(shè)f（n）=（λ﹣1）n2+3（λ﹣2）n﹣8

當(dāng)λ=1時(shí)，f（n）=﹣3n﹣8＜0恒成立，

當(dāng)λ＞1時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知f（n）不滿足對(duì)于任意n∈N*恒成立，

當(dāng)λ＜l時(shí)，對(duì)稱軸n=

f（n）在[1，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)．

只需f（1）=（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8=（λ﹣1）+（3λ﹣6）﹣8=4λ﹣15＜0

∴ ，∴λ≤1時(shí)4λSn＜bn恒成立．

綜上知：λ≤1時(shí)，4λSn＜bn恒成立

【解析】（1）由給出的 ，循環(huán)代入an+bn=1和 可求解a2 ， a3；（2）由an+bn=1得an+1+bn+1=1，結(jié)合 ，去掉bn與bn+1得到an+1與an的關(guān)系式，整理變形后可證得數(shù)列{ }是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式后即可求得數(shù)列{an}和{ bn}的通項(xiàng)公式；（3）首先利用裂項(xiàng)求和求出Sn ， 代入4λSn＜bn ， 通過對(duì)λ分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的最值求使4λSn＜bn恒成立的實(shí)數(shù)λ的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握通項(xiàng)公式：或；通項(xiàng)公式：．