Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC= AA1=2，D是AC的中點(diǎn)．

（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）求直線AC與平面A1BD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AB1交A1B于O，則O為AB1的中點(diǎn)，連接OD，

又D是AC的中點(diǎn)，∴OD∥B1C，

又OD平面A1BD，B1C平面A1BD，

∴B1C∥平面A1BD；

（2）解：∵AA1⊥底面ABC，AC⊥BC，

∴分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

∵AC=BC= AA1=2，

∴C（0，0，0），A（2，0，0），D（1，0，0），B（0，2，0），

A1（2，0，4），

則 ， ， ，

設(shè)平面A1BD的一個法向量為 ，

由 ，取z=﹣1，得 ，

∴直線AC與平面A1BD所成角的正弦值為sinθ=| |=| |= ．

【解析】（1）連接AB1交A1B于O，則O為AB1的中點(diǎn)，連接OD，結(jié)合D是AC的中點(diǎn)，可得OD∥B1C，再由線面平行的判定得B1C∥平面A1BD；（2）由AA1⊥底面ABC，AC⊥BC，分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出 及平面A1BD的一個法向量的坐標(biāo)，由兩向量所成角的余弦值可得直線AC與平面A1BD所成角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．