【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，，分別是，的中點(diǎn).

（1）在平面內(nèi)求一點(diǎn)，使平面，并證明你的結(jié)論；

（2）求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）點(diǎn)為的中點(diǎn)；證明見解析（2）

【解析】

以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可求出各點(diǎn)的坐標(biāo)

（1）設(shè)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得，進(jìn)而可求出值，得到點(diǎn)的位置；

（2）求出平面的法向量為，及的方向向量的坐標(biāo)，代入向量夾角公式，可得與平面所成角的正弦值.

解：以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)，則，，，，，，，

（1）設(shè)，則平面，，

，所以，

，所以，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，即點(diǎn)為的中點(diǎn).

（2）設(shè)平面的法向量為，

由得，，即，

取，則，，得.

，

所以，與平面所成角的正弦值的大小為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來，隨著我市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，政府對(duì)民生也越來越關(guān)注. 市區(qū)現(xiàn)有一塊近似正三角形土地ABC（如圖所示），其邊長(zhǎng)為2百米，為了滿足市民的休閑需求，市政府?dāng)M在三個(gè)頂點(diǎn)處分別修建扇形廣場(chǎng)，即扇形DBE，DAG和ECF，其中、與分別相切于點(diǎn)D、E，且與無重疊，剩余部分（陰影部分）種植草坪. 設(shè)BD長(zhǎng)為x（單位：百米），草坪面積為S（單位：百米2）.

（1）試用x分別表示扇形DAG和DBE的面積，并寫出x的取值范圍；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，草坪面積最大？并求出最大面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題正確的是（ ）

A.經(jīng)過任意三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.

B.過點(diǎn)有且僅有一條直線與異面直線垂直.

C.一條直線與一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行.

D.面與平面相交，則公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為有限個(gè).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】十九大提出，加快水污染防治，建設(shè)美麗中國(guó).根據(jù)環(huán)保部門對(duì)某河流的每年污水排放量（單位：噸）的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布表：

將污水排放量落入各組的頻率作為概率，并假設(shè)每年該河流的污水排放量相互獨(dú)立.

（1）求在未來3年里，至多1年污水排放量的概率；（2）該河流的污水排放對(duì)沿河的經(jīng)濟(jì)影響如下：當(dāng)時(shí)，沒有影響；當(dāng)時(shí)，經(jīng)濟(jì)損失為10萬元；當(dāng)時(shí)，經(jīng)濟(jì)損失為60萬元.為減少損失，現(xiàn)有三種應(yīng)對(duì)方案：

方案一：防治350噸的污水排放，每年需要防治費(fèi)3.8萬元；

方案二：防治310噸的污水排放，每年需要防治費(fèi)2萬元；

方案三：不采取措施.

試比較上述三種文案，哪種方案好，并請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】質(zhì)檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分別隨機(jī)抽取100桶檢測(cè)某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由檢測(cè)結(jié)果得到如圖的頻率分布直方圖：

(I)寫出頻率分布直方圖(甲）中的值；記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方差分別為，試比較的大�。ㄖ灰髮懗龃鸢福�；

(Ⅱ)佑計(jì)在甲、乙兩種食用油中各隨機(jī)抽取1桶，恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20，且另—個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)不大于20的概率；

(Ⅲ)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，乙種食用油的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，設(shè)表示從乙種食用油中隨機(jī)抽取10桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于（14.55， 38.45)的桶數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.

注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，計(jì)算得：

②若，則，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若、是兩個(gè)相交平面，則在下列命題中，真命題的序號(hào)為（ ）

①若直線，則在平面內(nèi)一定不存在與直線平行的直線．

②若直線，則在平面內(nèi)一定存在無數(shù)條直線與直線垂直．

③若直線，則在平面內(nèi)不一定存在與直線垂直的直線．

④若直線，則在平面內(nèi)一定存在與直線垂直的直線．

A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有云：“有木長(zhǎng)三丈，圍之八尺，葛生其下，纏木兩周，上與木齊，問葛長(zhǎng)幾何？”意思為：圓木長(zhǎng)3丈，圓周為8尺，葛藤?gòu)膱A木的底部開始向上生長(zhǎng)，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長(zhǎng)幾尺（注：1丈即10尺）？該問題的答案為34尺.若圓木長(zhǎng)為3尺，圓周為2尺，同樣繞圓木兩周剛好頂部與圓木平齊，那葛藤最少又是長(zhǎng)（ ）尺？

A.34尺B.5尺C.6尺D.4尺

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了釋放學(xué)生壓力，某校高三年級(jí)一班進(jìn)行了一個(gè)投籃游戲，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽（每人各投一次為一輪）.在相同的條件下，每輪甲乙兩人站在同一位置，甲先投，每人投一次籃，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分.設(shè)甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且各次投籃互不影響.

（1）經(jīng)過1輪投籃，記甲的得分為，求的分布列及期望；

（2）用表示經(jīng)過第輪投籃后，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分的概率，求.

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