Question

已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的極值；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，若直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極小值；

當(dāng)，在處取得極小值，無(wú)極大值（Ⅲ）的最大值為

【解析】（Ⅰ）由，得．

又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，

得，即，解得．

（Ⅱ），

①當(dāng)時(shí)，，為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無(wú)極值．

②當(dāng)時(shí)，令，得，．

，；，．

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故在處取得極小值，且極小值為，無(wú)極大值．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極小值；

當(dāng)，在處取得極小值，無(wú)極大值．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，

令，

則直線：與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，

等價(jià)于方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．

假設(shè)，此時(shí)，，

又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理，可知在上至少有一解，與“方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解”矛盾，故．

又時(shí)，，知方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．

所以的最大值為．

解法二：

（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，．

直線：與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，

等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于的方程：

              （*）

在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．

①當(dāng)時(shí)，方程（*）可化為，在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．

②當(dāng)時(shí)，方程（*）化為．

令，則有．

令，得，

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

當(dāng)時(shí)，，同時(shí)當(dāng)趨于時(shí)，趨于，

從而的取值范圍為．

所以當(dāng)時(shí)，方程（*）無(wú)實(shí)數(shù)解，

解得的取值范圍是．

綜上，得的最大值為．

此題的一二問(wèn)考查的是最基本的函數(shù)切線問(wèn)題及對(duì)極值含參情況的討論，所以導(dǎo)數(shù)公式必需牢記，對(duì)于參數(shù)的討論找到一個(gè)合理的分類標(biāo)準(zhǔn)做到不重不漏即可，可這往往又是學(xué)生最容易出現(xiàn)問(wèn)題的地方.而第三問(wèn)對(duì)于曲線是否無(wú)交點(diǎn)要懂得轉(zhuǎn)化成函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題處理，這也是常規(guī)處理含參就比較麻煩，平時(shí)要多加練習(xí).

【考點(diǎn)定位】 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，兩數(shù)的單調(diào)性、極值、零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解 能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬綜合要求比較高的難題.