已知向量
AB
=（1+tanx，1-tanx），
AC
=（sin（x-
π
4
），sin（x+
π
4
））．
（1）求證：∠BAC為直角；
（2）若x∈[-
π
4
，
π
4
]，求△ABC的邊BC的長度的取值范圍．
分析：（1）求出向量的數(shù)量積，利用下了垂直的充要條件得證
（2）利用向量模的坐標(biāo)公式求出
|AC
|   
|AB|
，利用勾股定理求出|
BC
|，利用三角函數(shù)的有界性求出范圍．
解答：證明：（1）
AB
•
AC
=（1+tanx）sin（x-
π
4
）+（1-tanx）sin（x+
π
4
）
=
2
2
[
cosx+sinx
cosx
(sinx-cosx)+
cosx-sinx
cosx
(sinx+cosx)]=0
∴
AB
⊥
AC

（2）|
AC
|=sin2（x+
π
4
）+sin2（x-
π
4
）=1
∵
AB
⊥
AC
，|
BC
|2=|
AB
|2+|
AC
|2=3+2tan2x
∵x∈[-
π
4
，
π
4
]，0≤tan2x≤1，
∴
3
≤|
BC
|≤
5
點評：本題考查向量的數(shù)量積公式、向量垂直的充要條件、向量模的坐標(biāo)公式、勾股定理．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
AB
=（1，2），
CA
=（1，0），則
BC
的坐標(biāo)為
（-2，-2）
（-2，-2）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
AB
=（1+tanx，1-tanx），
AC
=（sin（x-
π
4
），sin（x+
π
4
），則
AB
與
AC
的關(guān)系為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
AB
=（2，x一1），
CD
=（1，-y）（xy＞o），且
AB
∥
CD
，則
2
X
+
1
Y
的最小值等于
8
8
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知向量
AB
=（1+tanx，1-tanx），
AC
=（sin（x-
π
4
），sin（x+
π
4
），則
AB
與
AC
的關(guān)系為（　　）
A．夾角為銳角B．夾角為鈍角C．垂直D．共線

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