Question

已知橢圓Γ：（a＞b＞0）過點A（0，2），離心率為，過點A的直線l與橢圓交于另一點M．
（I）求橢圓Γ的方程；
（II）是否存在直線l，使得以AM為直徑的圓C，經(jīng)過橢圓Γ的右焦點F且與直線 x-2y-2=0相切？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由點A（0，2）可得b值，由離心率為可得=，再由a²=b²+c²，聯(lián)立方程組即可求得a，b值；
（II）假設(shè)存在直線l，使得以AM為直徑的圓C，經(jīng)過橢圓后的右焦點F且與直線x-2y-2=0相切，根據(jù)以AM為直徑的圓C過點F可得∠AFM=90°，求出直線MF方程，聯(lián)立直線MF方程與橢圓方程可得求得M坐標，利用直線與圓相切的條件d=r分情況驗證圓與直線x-2y-2=0相切即可；
解答：解：（Ⅰ）依題意得，解得，
所以所求的橢圓方程為；
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l，使得以AM為直徑的圓C，經(jīng)過橢圓后的右焦點F且與直線x-2y-2=0相切，
因為以AM為直徑的圓C過點F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，
又=-1，所以直線MF的方程為y=x-2，
由消去y，得3x²-8x=0，解得x=0或x=，
所以M（0，-2）或M（，），
（1）當(dāng)M為（0，-2）時，以AM為直徑的圓C為：x²+y²=4，
則圓心C到直線x-2y-2=0的距離為d==≠，
所以圓C與直線x-2y-2=0不相切；
（2）當(dāng)M為（，）時，以AM為直徑的圓心C為（），半徑為r===，
所以圓心C到直線x-2y-2=0的距離為d==r，
所以圓心C與直線x-2y-2=0相切，此時k_AF=，所以直線l的方程為y=-+2，即x+2y-4=0，
綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為x+2y-4=0．
點評：本題考直線與圓錐曲線的關(guān)系、橢圓方程的求解，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論思想，解決探究型問題，往往先假設(shè)存在，由此推理，若符合題意，則存在，否則不存在．