Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)E(

a2

c

，0)在x軸上，若橢圓的離心率e=

2

2

，且|EF|=1．
（1）求a，b的值；
（2）若過F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且

OA

+

OB

與向量

m

=(4，-

2

)共線（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：

OA

與

OB

的夾角為

π

2

．

Answer 1

分析：（1）跟橢圓的性質(zhì)及題意可知

c

a

和

a2

c

-c的值，聯(lián)立方程可求得a和c，進(jìn)而根據(jù)b=

a2-c2

求得b．
（2）根據(jù)（1）可求得橢圓的焦點(diǎn)可知直線不垂直于x軸，進(jìn)而可設(shè)直線AB：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線和橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而表示出

OA

+

OB

求得k的值，進(jìn)而可求得

OA

•

OB

=0判斷夾角為90°

解答：解：（1）由題意知

c

a

=

2

2

，

a2

c

-c=1，解得a=

2

，c=1，從而b=1．
（2）由（1）知F（1，0），顯然直線不垂直于x軸，
可設(shè)直線AB：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

消去y，得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
則x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2(k2-1)

1+2k2

，y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=

-2k

1+2k2

，
于是

OA

+

OB

=(

4k2

1+2k2

，-

2k

1+2k2

)，
依題意：

4k2 1+2k2

4

=

-2k 1+2k2

- 2

，故k=

2

，或k=0(舍)
又y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=-

k2

1+2k2

，
故

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0，所以

OA

與

OB

的夾角為90°

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生對問題的綜合分析和基本的運(yùn)算能力．