Question

已知，如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E是線段AB的中點，AC∩BD=O，點P是平面ABCD外一點，PA=PC，PB=PD，BD⊥EO．
求證：（Ⅰ）EO∥平面PBC．
（Ⅱ）BC⊥平面PBD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）利用平行四邊形的性質以及中位線的性質得到EO∥BC，利用線面平行的判定定理可證；
（Ⅱ）要證BC⊥平面PBD，只要證明BC與平面PBD內的兩條相交直線垂直，由已知可證BC⊥BD，PO⊥BC．

解答： 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴O是線段AC和BD的中點．…（1分）
∵點E是線段AB中點，
∴EO∥BC．…（2分）
∵EO?平面PBC，
∴EO∥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）∵BD⊥EO，EO∥BC，
∴BC⊥BD．…（5分）
∵PA=PC，PB=PD，O是線段AC和BD的中點，
∴PO⊥AC，PO⊥BD．…（7分）
又BD∩AC=O，BD?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．…（9分）
∵BC?平面ABCD，
∴PO⊥BC．…（10分）
∵PO⊥BD=O，BD?平面PBD，PO?平面PBD，
∴BC⊥平面PBD．…（12分）

點評：本題考查了線面平行、線面垂直的性質定理和判定定理的運用，關鍵是熟練掌握定理，正確運用．