Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a、b、c∈R，且a＞0），若a=1，又知x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個(gè)根，且x₁，x₂∈（m，m+1），其中m∈R，求f（m）f（m+1）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）=（x-x₁）（x-x₂），x₁，x₂∈（m，m+1），得到f（m）•f（m+1）=（m-x₁）（m-x₂）（m+1-x₁）（m+1-x₂）=[（x₁-m）（m+1-x₁）][（x₂-m）（m+1-x₂]，再利用基本不等式求最值．

解答： 解：不妨設(shè)f（x）=（x-x₁）（x-x₂），x₁，x₂∈（m，m+1），
由m-x₁＜0，m-x₂＜0，m+1-x₁＞0，m+1-x₂＞0，
∴f（m）•f（m+1）=（m-x₁）（m-x₂）（m+1-x₁）（m+1-x₂）
=[（x₁-m）（m+1-x₁）][（x₂-m）（m+1-x₂]
≤(

x1-m+m+1-x1

2

)2•(

x2-m+m+1x2

2

)2
=

1

16

，
當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂=m+

1

2

時(shí)取等號(hào)，
∴f（m）f（m+1）的最大值為

1

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于二次函數(shù)的性質(zhì)問題，在求解過程中注意基本不等式的應(yīng)用問題．