Question

設(shè)同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_n為n（n=2，3，4，…）階“期待數(shù)列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）若等比數(shù)列{a_n}為2k（k∈N^*）階“期待數(shù)列”，求公比q；
（Ⅱ）記n階“期待數(shù)列”{a_i}的前k項(xiàng)和為S_k（k=1，2，3，…，n）．
（1）求證：|S_k|≤

1

2

；
（2）若存在m∈{1，2，3，…，n}，使得S_m=

1

2

．試問(wèn)：數(shù)列{S_i}（i=1，2，3，…，n）能否為n階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）分類討論，利用“期待數(shù)列”的定義，即可求出公比；
（Ⅱ）（1）由n階“期待數(shù)列”{a_n}的前k項(xiàng)和中所有項(xiàng)之和為0，所有項(xiàng)的絕對(duì)值的和為1，求得所有非負(fù)數(shù)項(xiàng)的和

1

2

，所有負(fù)數(shù)項(xiàng)的和為-

1

2

，從而得到答案；
（2）借助于（1）的結(jié)論知，數(shù)列{S_k}（k=1，2，3，…，n）的前k項(xiàng)和為T_k 滿足|T_k |≤

1

2

，再由S_m=

1

2

，得到|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=S₁+S₂+S₃+…+S_n．從而說(shuō)明S₁+S₂+S₃+…+S_n=0與|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=1不能同時(shí)成立．

解答： （Ⅰ）解：若q=1，由①得，a₁•2k=0，得a₁=0，矛盾．-----------（5分）
若q≠1，則由①a₁+a₂+a₃+…+a_2k=

a1(1-q2k)

1-q

=0，得q=-1，-------------（7分）
由②得a₁=

1

2k

或a₁=-

1

2k

．
∴q=-1；
（Ⅱ）（1）證明：記a₁，a₂，…，a_n中所有非負(fù)數(shù)項(xiàng)的和為A，所有負(fù)數(shù)項(xiàng)的和為B，
則A+B=0，A-B=1，得A=

1

2

，B=-

1

2

，
∴-

1

2

=B≤S_k≤A=

1

2

，即：|S_k|≤

1

2

（2）若存在m∈{1，2，3，…，n}使S_m=

1

2

，由前面的證明過(guò)程知：
a₁≥0，a₂≥0，…，a_m≥0，a_m+1≤0，a_m+2≤0，…，a_n≤0，
且a_m+1+a_m+2+…+a_n=-

1

2

，
如果{S_k}是n階“期待數(shù)列”，
記數(shù)列{S_k}（k=1，2，3，…，n）的前k項(xiàng)和為T_k ，
則由（i）知，|T_k |≤

1

2

，
∴T_m=S₁+S₂+…+S_m≤

1

2

，而S_m=

1

2

，
∴S₁=S₂=…=S_m-1=0，從而a₁=a₂=…=a_m-1=0，a_m=

1

2

．
又a_m+1+a_m+2+…+a_n=-

1

2

，則S_m+1，S_m+2，…，S_n≥0．
∴|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=S₁+S₂+S₃+…+S_n．
S₁+S₂+S₃+…+S_n=0與|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=1不能同時(shí)成立．
∴對(duì)于有窮數(shù)列a₁，a₂，…，a_n（n=2，3，4，…），若存在m∈{1，2，3，…，n}使S_m=

1

2

，
則數(shù)列{a_i}的和數(shù)列{S_k}（k=1，2，3，…，n）不能為n階“期待數(shù)列”．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查了數(shù)列與不等式的結(jié)合，解答此題的關(guān)鍵是明確題意，充分借助于題設(shè)中給出的兩個(gè)條件，明確數(shù)列中的非負(fù)數(shù)項(xiàng)和負(fù)數(shù)項(xiàng)，是難度較大的題型．