如圖，在直三棱柱中，，分別是的中點(diǎn)，且.

（1）求直線與所成角的大小；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.

（1）；（2）．

解析試題分析：由已知有AC、BC、CC1兩兩互相垂直，故可分別以、、所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.然后由已知就可寫出所需各點(diǎn)的空間坐標(biāo)．（1）由此就可寫出向量的坐標(biāo)，然后再由兩向量的夾角公式：求出這兩向量的夾角的余弦值，最后轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)兩直線的夾角大��；只是應(yīng)該注意兩直線的夾角的取值范圍是，而兩向量的夾角的取值范圍是；所以求出兩向量的夾角的余弦值后取絕對(duì)值才是兩直線的夾角的余弦值；（2）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)Ｅ的坐標(biāo)，進(jìn)而就可寫出向量的坐標(biāo)，再設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,就可求出平面的一個(gè)法向量，從而就可求得這兩向量夾角的余弦值，注意直線與平面所成的角的正弦值就等于直線的方向向量與平面法向量夾角的余弦值．
試題解析：解：分別以、、所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則由題意可得：,,,,,,
又分別是的中點(diǎn)，,.                     3分
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/27/b/qikdg2.png" style="vertical-align:middle;" />， ，
所以，                     7分
直線與所成角的大小為.                                      8分
（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,得,
可取，                                                    10分
又，所以，      13分
直線與平面所成角的正弦值為.                             14分
考點(diǎn)：１．異面直線所成的角；２．直線與平面所成的角．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖1，在直角梯形中，，，且．現(xiàn)以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點(diǎn)，如圖2．
（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知的直徑AB＝3，點(diǎn)C為上異于A，B的一點(diǎn)，平面ABC，且VC＝2，點(diǎn)M為線段VB的中點(diǎn).
(1)求證：平面VAC；
(2)若AC＝1，求直線AM與平面VAC所成角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點(diǎn)．

（1）證明：面面；
（2）求與所成的角的余弦值；
（3）求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在正方體中，、分別為,中點(diǎn)。
（1）求異面直線與所成角的大小;
（2）求證：平面。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5°，AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°.

(1)證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；
(2)求cos∠COD.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知四棱錐，底面為矩形，側(cè)棱，其中，為側(cè)棱上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，如下圖所示．
（1）求證：；
（2）求異面直線與所成角的余弦值；
（3）求二面角的余弦值．
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4，則異面直線AB1與A1D所成的角的余弦值為                 .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

設(shè)α、β、γ為彼此不重合的三個(gè)平面，ι為直線，給出下列命題：
①若α∥β，α⊥γ，則β⊥γ，
②若α⊥γ，β⊥γ，且αnβ=ι，則ι⊥γ
③若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直則直線ι與平而α垂直，
④若α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到β的距離相等．則平面α平行于平面β
上面命題中，真命題的序號(hào)為            （寫出所有真命題的序號(hào)）

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