Question

7．已知函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），當(dāng) a，b∈（-∞，0]時(shí)，總有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，$-\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），可得f（x）的偶函數(shù)，當(dāng) a，b∈（-∞，0]時(shí)，總有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0（a≠b），可知f（x）在（-∞，0]是單調(diào)增函數(shù)．即可將f（m+1）＞f（2m）轉(zhuǎn)化為等式求解．

解答 解：由題意：f（x）的偶函數(shù)，f（x）在（-∞，0]是單調(diào)增函數(shù)，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴f（m+1）＞f（2m）轉(zhuǎn)化為|m+1|＜|2m|，
兩邊平方得：（m+1）²＜4m²，
解得：m＞1或m$＜-\frac{1}{3}$
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，$-\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．
故答案為（-∞，$-\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性運(yùn)用能力．屬于基礎(chǔ)題．