【題目】如圖，是半圓的直徑，是半圓上除點外的一個動點，垂直于所在的平面，垂足為，，且，.

（1）證明：平面平面；

（2）當(dāng)為半圓弧的中點時，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先證明平面，再證明后即可得平面，即可得證；

（2）建立空間坐標系后分別求出平面的一個法向量和平面的一個法向量，求出后即可得解.

（1）證明：因為是半圓的直徑，所.

因為垂直于所在的平面，，

所以，所以平面.

因為，且，

所以四邊形為平行四邊形.

所以，所以平面，

因為平面，所以平面平面.

（2）由題意，，、、兩兩互相垂直，建立如圖所示空間直角坐標系.

則，，，，所以，，，.

設(shè)平面的一個法向量為，

則即

令，則.

設(shè)平面的一個法向量為，

則即

則，

則.

因為二面角是鈍角，所以二面角的余弦值為.

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（2）證明：.

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