Question

【題目】已知數(shù)列：，，，…，為1，2，3，…，的一個排列，若互不相同，則稱數(shù)列具有性質(zhì).

（1）若，且，寫出具有性質(zhì)的所有數(shù)列；

（2）若數(shù)列具有性質(zhì)，證明：；

（3）當(dāng)時，分別判斷是否存在具有性質(zhì)的數(shù)列？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)或;(2)證明見詳解;(3)時不存在,時存在,理由見詳解

【解析】

(1)根據(jù)題意直接寫數(shù)列即可;

(2)假設(shè),則,那么最多有個結(jié)果,無法滿足個互不相同,故不滿足性質(zhì),題設(shè)得證;

(3)根據(jù)兩組1,2,3,…,中的奇偶個數(shù),可以推導(dǎo)的結(jié)果中,奇數(shù)與偶數(shù)的個數(shù)組合,從而得出結(jié)論.

(1)若,且,

則具有性質(zhì)的數(shù)列有兩個,

分別是或;

(2)數(shù)列:,,,…,為1,2,3,…,的一個排列,

則最多有個結(jié)果,分別是,

若,則,

時,最多有個結(jié)果,分別是,

因此,若,則最多有個結(jié)果,分別是,

無法滿足個互不相同,故不滿足性質(zhì),

因此,若數(shù)列具有性質(zhì),則;

(3)當(dāng)時,不存在具有性質(zhì)的數(shù)列;

當(dāng)時,存在具有性質(zhì)的數(shù)列.

證明如下:

當(dāng)時,:,,,…,為1,2,3,…,7的一個排列,

若其具有性質(zhì),則的結(jié)果應(yīng)該分別是,

包含3個奇數(shù),4個偶數(shù),

而兩組1,2,3,…,7中,包含8個奇數(shù),6個偶數(shù),

其中,3個奇數(shù)與3個偶數(shù)相減能得到結(jié)果中的3個奇數(shù),

但剩下的5個奇數(shù)和3個偶數(shù)組合無法減出4個偶數(shù),

因此時,不存在具有性質(zhì)的數(shù)列;

若,則兩組1,2,3,…,8中包含8個奇數(shù),8個偶數(shù),

可以組合相減得到,這4個偶數(shù),4個奇數(shù),

因此時,存在具有性質(zhì)的數(shù)列.