【題目】已知函數(shù),若在定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱為函數(shù)的局部對稱點.
(1)若且,證明:函數(shù)必有局部對稱點;
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對稱點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)在上有局部對稱點,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
(1)根據(jù)新定義的“局部對稱點”的概念,計算,可得結(jié)果.
(2)根據(jù)“局部對稱點”的概念,利用分離參數(shù)的方法,可得,然后構(gòu)造新函數(shù),研究新函數(shù)的值域與的關(guān)系,可得結(jié)果.
(3)根據(jù)“局部對稱點”的概念,以及換元法,可得在有解然后構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì),可得結(jié)果.
(1)由
得,
代入得,
,
得到關(guān)于的方程,,
則函數(shù)必有局部對稱點.
(2)方程在區(qū)間上有解
則,設(shè),
,,其中,
所以.
(3),
由于,所以
,
則
所以可知方程在上有解,
令,則,
解法1:當時,
由,可得
.
,則,
從而在有解
即可保證為“局部奇函數(shù)”.
令,
當,
在有解,
由,即,
解得;
當時,
在有解
等價于,
解得.
綜上,所求實數(shù)的取值范圍為.
解法2:方程變?yōu)?/span>
在區(qū)間內(nèi)有解,其中一個根為
需滿足條件:
,
即,
化簡得.
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【題目】已知雙曲線的兩個焦點坐標分別為和,雙曲線的一條切線與軸交于,且斜率為2.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若切線與雙曲線的切點為,證明:.
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【題目】一艘輪船在航行中燃料費和它的速度的立方成正比.已知速度為每小時10千米時,燃料費是每小時6元,而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元,問輪船的速度是多少時,航行1千米所需的費用總和最少?
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【題目】在直角坐標系xOy中,已知曲線C1:(α為參數(shù)),在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρcos =-,曲線C3:ρ=2sin θ.
(1)求曲線C1與C2的交點M的直角坐標;
(2)設(shè)點A,B分別為曲線C2,C3上的動點,求|AB|的最小值.
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【題目】某公司有男性職工64名,一次體檢后,將他們的體重(單位:kg)分組為:,,,,,繪制出頻率分布直方圖如圖,圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為.
(1)求這64名男職工中,體重小于60kg的人數(shù);
(2)從體重在kg范圍的男職工中用分層抽樣的方法選取6名,再從這6名男職工中隨機選取2名,記“至少有一名男職工體重大于65kg”為事件,求事件發(fā)生的概率.
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【題目】為了了解居民的用電情況,某地供電局抽查了該市若干戶居民月均用電量(單位:),并將樣本數(shù)據(jù)分組為,,,,,, ,其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)若樣本中月均用電量在的居民有戶,求樣本容量;
(2)求月均用電量的中位數(shù);
(3)在月均用電量為,,,的四組居民中,用分層隨機抽樣法抽取戶居民,則月均用電量在的居民應(yīng)抽取多少戶?
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【題目】如圖,在等腰梯形ABCD中,,,,E為AD中點,點O,F分別為BE,DE的中點,將沿BE折起到的位置,使得平面平面BCDE(如圖).
(1)求證:;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)側(cè)棱上是否存在點P,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由
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【題目】第23屆冬季奧運會于2018年2月9日至2月25日在韓國平昌舉行,期間正值我市學校放寒假,寒假結(jié)束后,某校工會對全校教職工在冬季奧運會期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時間作了一次調(diào)查,得到如下頻數(shù)分布表:
收看時間(單位:小時) | [0,1) | [1,2) | [2,3) | [3,4) | [4,5) | [5,6) |
收看人數(shù) | 14 | 30 | 16 | 28 | 20 | 12 |
(1)若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“體育達人”,否則定義為“非體育達人”,請根據(jù)頻數(shù)分布表補全列聯(lián)表:
男 | 女 | 合計 | |
體育達人 | 40 | ||
非體育達人 | 30 | ||
合計 |
并判斷能否有90%的把握認為該校教職工是否為“體育達人”與“性別”有關(guān);
(2)在全校“體育達人”中按性別分層抽樣抽取6名,再從這6名“體育達人”中選取2名作冬奧會知識講座.求抽取的這兩人恰好是一男一女的概率.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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