Question

4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a²=3bc．
（Ⅰ）若sinA=sinC，求cosA；
（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周長的最小值．．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由sinA=sinC，利用正弦定理得a=c，進而可求c=3b，利用余弦定理即可求得cosA．
（Ⅱ）由已知可求bc=3，利用基本不等式可求$b+c≥2\sqrt{bc}=2\sqrt{3}$，即可得解△ABC的周長的最小值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由sinA=sinC，得a=c．
又a²=3bc，所以c=3b．
由余弦定理可得：$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{{b^2}+9{b^2}-9{b^2}}}{2b×3b}=\frac{1}{6}$．
（Ⅱ）由已知a²=3bc，且a=3，
所以bc=3． 
由$b+c≥2\sqrt{bc}=2\sqrt{3}$，當且僅當$b=c=\sqrt{3}$時取等號．
故△ABC的周長$a+b+c≥3+2\sqrt{3}$．
所以，△ABC的周長的最小值$3+2\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的綜合應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．